Какова сумма масс компонентов двойной звезды Кассиопеи с параллаксом 0,17 , периодом обращения спутника 530

Denis_1298

60

Для решения этой задачи, нам потребуется знать некоторые основы астрономии и математики.

На самом деле, чтобы определить сумму масс компонентов двойной звезды, нам понадобится информация о массе одной из этих компонент. Это связано с тем, что физические параметры вращающейся двойной звезды можно определить только путем изучения ее динамики.

Для этой задачи даны три параметра:
1. Параллакс: 0,17 "
2. Период обращения спутника: 530 лет
3. Угловой размер большой полуоси орбиты

Давайте посмотрим, каким образом мы можем использовать эти данные для определения массы компонентов двойной звезды.

1. Параллакс (п): Параллакс - это угол, под которым наблюдатель видит движение объекта на небе. Чем меньше параллакс, тем дальше находится объект. В нашем случае параллакс равен 0,17 ".

Чтобы определить расстояние до двойной звезды, мы воспользуемся формулой:

\[расстояние = \frac{1}{п},\]

где расстояние будет выражено в парсеках (pc) и параллакс в угловых секундах (").

В нашем случае:

\[расстояние = \frac{1}{0,17} = 5,88 \, pc.\]


2. Период обращения спутника (Т): Период обращения спутника является временем, которое требуется спутнику для совершения полного оборота вокруг двойной звезды. В нашем случае период обращения равен 530 лет.

Когда у нас есть период обращения и расстояние до двойной звезды, мы можем использовать третий закон Кеплера для определения суммарной массы двойной звезды. Третий закон Кеплера устанавливает, что квадрат периода обращения тела (возведенный в куб) пропорционален сумме масс тел.

Формула третьего закона Кеплера:

\[T^2 = \frac{4 \pi^2}{G \cdot (m_1 + m_2)} \cdot a^3,\]

где:
T - период обращения спутника,
G - гравитационная постоянная,
\(m_1\) и \(m_2\) - массы компонентов двойной звезды,
а - большая полуось орбиты.

Мы будем использовать солнечные единицы, где единицей массы является масса Солнца (M⊙) и единицей расстояния - астрономическая единица (AU). В этой системе G равна приблизительно \(4\pi^2\) (10 AU)^3 / (1 M⊙)^3.

Планетарным ученым удалось экспериментально подтвердить этот закон. Важно отметить, что закон Кеплера верен только для систем, в которых доминирует гравитационное взаимодействие между двумя телами. В рамках нашей задачи мы можем считать, что доминирующим взаимодействием является гравитационное взаимодействие между двумя компонентами двойной звезды.

3. Угловой размер большой полуоси орбиты: Этот параметр нам позволяет определить физический размер орбиты двойной звезды на основе известного расстояния до нее. Угловой размер большой полуоси орбиты можно измерять в угловых секундах (") или радианах (rad). Большая полуось в радианах равна частному углового размера на расстояние до двойной звезды.

В нашем случае, нам дан угловой размер большой полуоси орбиты. Нам необходимо перевести его в радианы, чтобы использовать его в формуле. Если угловой размер дан в секундах, его необходимо разделить на 3600, чтобы получить радианы.

По формуле:

\[a = \frac{угловой \, размер}{расстояние \, в \, парсеках},\]

а значит:

\[a = \frac{угловой \, размер}{5,88}.\]

Мы можем приступить к нахождению массы компонентов двойной звезды.

Сначала выразим суммарную массу двойной звезды в формуле третьего закона Кеплера:

\[\frac{4 \pi^2}{G \cdot m_1 + m_2} = \frac{T^2}{a^3}.\]

Теперь выразим суммарную массу двойной звезды:

\[m_1 + m_2 = \frac{4 \pi^2}{G} \cdot \frac{T^2}{a^3}.\]

Вставим известные значения:

\[m_1 + m_2 = \frac{4 \pi^2}{4\pi^2} \cdot \frac{T^2}{a^3} \cdot \frac{10 AU)^3}{(1 M⊙)^3}.\]

Упростим выражение:

\[m_1 + m_2 = \frac{T^2}{a^3} \cdot 10^3 \, M⊙.\]

Теперь мы можем вычислить сумму масс компонентов двойной звезды, подставив известные значения:

\[m_1 + m_2 = \frac{(530 \, лет)^2}{(\frac{угловой \, размер}{5,88})^3} \cdot 10^3 \, M⊙.\]

Получается, что сумма масс компонентов двойной звезды Кассиопеи составляет:

\[m_1 + m_2 = \frac{BC}{DE} \cdot 10^3 \, M⊙,\]

где BC обозначает \(Т^2\), а DE обозначает \(\frac{угловой \, размер^3}{5,88^3}.\)