На доске записано 26 чисел, все разные. Полина изменила некоторые числа, добавив 1 к некоторым, 12 к другим и
На доске записано 26 чисел, все разные. Полина изменила некоторые числа, добавив 1 к некоторым, 12 к другим и 123 ко всем остальным. В результате возможно появление одинаковых чисел. Какое наименьшее количество разных чисел могло появиться после этих изменений?
Ogonek 34
Для решения данной задачи нам необходимо понять, как изменения чисел могут повлиять на количество различных чисел.Представим, что исходно на доске записаны числа \(x_1, x_2, x_3, ..., x_{26}\).
После того, как Полина добавила 1 к некоторым числам, числа могли измениться на \(x_1 + 1, x_2 + 1, x_3 + 1, ..., x_{26} + 1\).
Кроме того, она прибавила 12 к другим числам, и они стали равны \(x_1 + 12, x_2 + 12, x_3 + 12, ..., x_{26} + 12\).
Наконец, она добавила 123 ко всем остальным числам, и получились числа \(x_1 + 123, x_2 + 123, x_3 + 123, ..., x_{26} + 123\).
Теперь давайте проанализируем возможные ситуации в результате всех этих изменений:
1. Если после всех изменений два числа стали одинаковыми, то изначально на доске было минимум 2 одинаковых числа. Нам нужно найти наименьшее количество различных чисел, следовательно, нужно найти минимальное значение количества одинаковых чисел.
2. Когда изменения добавляются к числам, все эти числа изменяются на одну и ту же величину. Например, изначально было 26 разных чисел, и после всех изменений все числа стали равными \(x_1 + 123\). В этом случае на доске останется только одно число. Это наименьшее количество различных чисел.
Таким образом, наименьшее количество различных чисел, которое могло появиться после всех изменений Полины - это либо 2 (если два числа стали одинаковыми), либо 1 (если все числа превратились в одно и то же число).