Какова сумма первых 38 членов арифметической прогрессии, заданной формулой an = -2n

Загадочная_Сова_600

18

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом. У нас есть арифметическая прогрессия, где каждый член обозначается как \(a_n\) и задается формулой \(a_n = -2n\). Нам нужно найти сумму первых 38 членов этой прогрессии.

Для начала, давайте найдем первый и последний члены прогрессии.

Первый член прогрессии (\(a_1\)) можно найти подставив \(n = 1\) в формулу:
\[a_1 = -2 \cdot 1 = -2\]

Последний член прогрессии (\(a_{38}\)) можно найти подставив \(n = 38\) в формулу:
\[a_{38} = -2 \cdot 38 = -76\]

Затем давайте найдем сумму первых и последних членов:
\[S_{\text{первых}} = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{38}\]
\[S_{\text{первых}} = -2 - 4 - 6 - \ldots - 76\]

Теперь давайте воспользуемся свойством арифметической прогрессии, которое говорит, что сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии можно найти по формуле:
\[S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

Подставим значения в формулу:
\[S_{\text{первых}} = \frac{38}{2}(-2 + (-76))\]

Вычислим значения в скобках:
\[S_{\text{первых}} = \frac{38}{2}(-2 - 76)\]
\[S_{\text{первых}} = \frac{38}{2}(-78)\]

Дальше можем упростить выражение:
\[S_{\text{первых}} = 19 \cdot (-78)\]
\[S_{\text{первых}} = -1482\]

Таким образом, сумма первых 38 членов данной арифметической прогрессии равна -1482.