Какова сумма площадей всех квадратов в данной последовательности вписанных квадратов в квадрат, чья сторона равна

Podsolnuh_3736

68

Для решения этой задачи нам необходимо разобраться в основных понятиях вписанных квадратов и последовательно вычислить требуемые значения.

1. Площадь каждого вписанного квадрата:
Для нахождения площади квадрата мы должны умножить длину его стороны на саму себя. В данной задаче у нас имеется квадрат со стороной 24 см, так что его площадь будет 24 см * 24 см = 576 см².

2. Сумма площадей всех квадратов:
Чтобы найти сумму площадей всех вписанных квадратов, мы должны сложить площади каждого квадрата в последовательности. Известно, что в каждом следующем вписанном квадрате, его сторона ровна половине стороны предыдущего вписанного квадрата. Таким образом, площадь каждого следующего квадрата будет уменьшаться в 4 раза (по формуле для площади квадрата - сторона во второй степени).

Используя эту информацию, у нас есть 1-й вписанный квадрат со стороной 24 см и площадью 576 см². Затем у нас будет 2-й вписанный квадрат со стороной 12 см и площадью 144 см² (24 см / 2 = 12 см, площадь = 12 см * 12 см = 144 см²). Затем 3-й вписанный квадрат со стороной 6 см и площадью 36 см², 4-й квадрат со стороной 3 см и площадью 9 см² и так далее, пока сторона квадрата не станет равной нулю.

Таким образом, чтобы найти сумму площадей всех вписанных квадратов, мы должны сложить площади каждого из них:

\[576 + 144 + 36 + 9 + \ldots\]

Это является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем \(1/4\) и первым членом 576. Для вычисления суммы этой прогрессии, используем формулу:

\[S = \frac{a}{1 - r}\]

Где \(S\) - сумма прогрессии, \(a\) - первый член, \(r\) - знаменатель.

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[S = \frac{576}{1 - \frac{1}{4}}\]
\[S = \frac{576}{\frac{3}{4}}\]
\[S = \frac{576 \cdot 4}{3}\]
\[S = 768\]

Итак, сумма площадей всех квадратов в последовательности равна 768 см².

3. Площадь наибольшего квадрата:
Наибольшим квадратом в этой последовательности является первый квадрат, у которого сторона равна 24 см. Следовательно, его площадь составляет 576 см².

4. Значение знаменателя:
Как уже обсуждалось ранее, каждый следующий квадрат имеет сторону, равную половине стороны предыдущего квадрата. Таким образом, знаменатель будет постоянно равен \(r = \frac{1}{2}\).

5. Длина стороны третьего квадрата:
Третий квадрат в последовательности имеет сторону, равную половине стороны второго квадрата. Так как второй квадрат имеет сторону 12 см, то третий квадрат будет иметь сторону 6 см.

Итак, сумма площадей всех вписанных квадратов равна 768 см², площадь наибольшего квадрата - 576 см², значение знаменателя - \(\frac{1}{4}\), а длина стороны третьего квадрата - 6 см.