Какие свойства имеет функция f (x) xtgx/x+3sinx с подробным решением: а) является ли она четной; б) является

Солнечный_Шарм_8053

64

Давайте рассмотрим функцию \(f(x) = \frac{xtg(x)}{x + 3sin(x)}\) и проверим ее свойства.

а) Для того чтобы функция \(f(x)\) была четной, необходимо, чтобы выполнялось условие \(f(x) = f(-x)\) для любого значения \(x\).

Рассмотрим \(f(-x)\):
\[f(-x) = \frac{(-x)tg(-x)}{(-x) + 3sin(-x)}\]

Как мы знаем, тангенс - нечетная функция, поэтому \(tg(-x) = -tg(x)\).
Также, синус - тоже нечетная функция, поэтому \(sin(-x) = -sin(x)\).

Теперь можем посчитать \(f(-x)\):
\[f(-x) = \frac{(-x)(-tg(x))}{(-x) + 3(-sin(x))} = \frac{xtg(x)}{x - 3sin(x)}\]

Мы получили \(f(-x)\), которая отличается от \(f(x)\) только в знаке знаменателя (\(+3sin(x)\) вместо \(-3sin(x)\)).

Таким образом, функция \(f(x)\) не является четной, так как она не удовлетворяет условию \(f(x) = f(-x)\) для любого значения \(x\).

б) Для того чтобы функция \(f(x)\) была нечетной, необходимо, чтобы выполнялось условие \(-f(x) = f(-x)\) для любого значения \(x\).

Рассмотрим \(-f(x)\):
\[-f(x) = -\frac{xtg(x)}{x + 3sin(x)}\]

Теперь можем посчитать \(-f(-x)\):
\[-f(-x) = -\frac{(-x)tg(-x)}{(-x) + 3sin(-x)} = \frac{xtg(x)}{x - 3sin(x)}\]

Заметим, что полученные выражения для \(-f(x)\) и \(f(-x)\) совпадают.

Таким образом, функция \(f(x)\) также не является нечетной.

в) Если функция не является ни четной, ни нечетной, то она является ни то, ни другое. То есть, функция \(f(x)\) не обладает ни четностью, ни нечетностью.

г) Для того чтобы функция \(f(x)\) была периодической, должно существовать такое положительное число \(T\), что для любого значения \(x\) выполняется условие \(f(x + T) = f(x)\).

Рассмотрим \(f(x + T)\):
\[f(x + T) = \frac{(x + T)tg(x + T)}{(x + T) + 3sin(x + T)}\]

Сейчас мы проверим, может ли функция быть периодической. Заметим, что \(tg(x + T)\) и \(sin(x + T)\) не могут быть просто переписаны через \(tg(x)\) и \(sin(x)\), так как при этом будет изменяться аргумент под \(tg\) и \(sin\), и значения этих функций также будут изменяться. Из этого следует, что функция \(f(x)\) не является периодической.

В итоге, функция \(f(x) = \frac{xtg(x)}{x + 3sin(x)}\) не является ни четной, ни нечетной, и не является периодической.