Какова сумма углов, являющихся корнями уравнения (ctg x + 1)(cos x-1)=0 и принадлежащих интервалу между 100

Карамелька_7859

44

Чтобы решить данную задачу, мы должны найти углы, являющиеся корнями уравнения \((\text{ctg} x + 1)(\cos x-1)=0\) и принадлежащие интервалу между 100 и 400 градусами.

Начнем с разложения уравнения на два множителя:

\((\text{ctg} x + 1)(\cos x-1)=0\)

Так как произведение равно нулю, значит, хотя бы один из множителей равен нулю:

\(\text{ctg} x + 1 = 0\) или \(\cos x-1 = 0\)

Рассмотрим первый случай:

\(\text{ctg} x + 1 = 0\)

Теперь найдем значения углов, для которых \(\text{ctg} x + 1 = 0\). Чтобы найти такие углы, мы можем воспользоваться таблицей значений для \(ctg\) или использовать определение \(ctg x = \frac{1}{\text{tg} x}\).

Подставим \(\text{ctg} x = \frac{1}{\text{tg} x}\):

\(\frac{1}{\text{tg} x} + 1 = 0\)

Выразим \(\text{tg} x\) через \(\frac{1}{\text{tg} x}\):

\(\text{tg} x = -1\)

Значит, углы \(x\), для которых \(\text{ctg} x + 1 = 0\), это углы, где \(\text{tg} x = -1\). Такие углы находятся во второй и четвертой четверти, и они равны 135 и 315 градусам.

Теперь рассмотрим второй случай:

\(\cos x - 1 = 0\)

Для решения этого уравнения добавим 1 к обоим частям:

\(\cos x = 1\)

Известно, что косинус 0 градусов равен 1. Значит, угол \(x = 0\) градусов является корнем уравнения \(\cos x - 1 = 0\).

Теперь мы должны найти углы, которые являются корнями и принадлежат интервалу между 100 и 400 градусами. Вспомним, что градусная мера угла поворота в полном обороте равна 360 градусам. Поэтому, чтобы найти углы в данном интервале, мы можем добавить или вычесть кратное 360 градусов от значений корней, которые мы уже нашли.

В интервале между 100 и 400 градусами попадают следующие углы:

1) \(0 + 360 \cdot 0 = 0\) градусов
2) \(135 + 360 \cdot 1 = 495\) градусов (не попадает в интервал)
3) \(315 + 360 \cdot 1 = 675\) градусов (не попадает в интервал)

Итак, сумма углов, являющихся корнями данного уравнения и принадлежащих интервалу между 100 и 400 градусами, равна 0 градусов.