Какова сумма всех корней уравнения x^(3-lg(x/3))=900?

Вечный_Странник

6

Для решения этой задачи нам нужно найти сумму всех корней уравнения \(x^{3 - \log_2\left(\frac{x}{3}\right)} = 900\).

Шаг 1: Преобразование уравнения
Для начала избавимся от логарифма в степени. Заметим, что \(\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}\) для любого положительного \(c\).
Применяя эту формулу, мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[x^{3 - \log_2\left(\frac{x}{3}\right)} = 900 \Rightarrow x^3 \cdot 2^{\log_2\left(\frac{3}{x}\right)} = 900\]

Воспользуемся свойствами степени и логарифма:

\(\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)\)
\(a^{\log_a(x)} = x\)

Используя эти свойства, перепишем уравнение:

\[x^3 \cdot 2^{\log_2\left(\frac{3}{x}\right)} = 900 \Rightarrow x^3 \cdot \left(2^{\log_2(3)} \cdot 2^{-\log_2(x)}\right) = 900\]

Так как \(2^{\log_2(3)} = 3\) и \(2^{-\log_2(x)} = \frac{1}{x}\), получаем:

\[x^3 \cdot \frac{3}{x} = 900 \Rightarrow 3x^2 = 900 \Rightarrow x^2 = 300 \Rightarrow x = \sqrt{300} \approx 17.32\]

Шаг 2: Найдем остальные корни
Так как уравнение кубическое, оно может иметь еще два комплексных корня. Однако, если уравнение исходно задано вещественными числами, комплексные корни нам не интересны.
Поэтому ответом будет только вещественный корень \(x \approx 17.32\).

Шаг 3: Найдем сумму всех корней
Так как в задаче требуется найти сумму всех корней, ответом будет значение этого единственного корня, то есть сумма всех корней равна \(17.32\).

Итак, сумма всех корней уравнения \(x^{3 - \log_2\left(\frac{x}{3}\right)} = 900\) равна примерно \(17.32\).