Какова сумма всех натуральных чисел n таких, что n^4 - 27n^2 + 121 является простым числом? Если таких чисел n нет

Yan_6960

3

Давайте начнем с решения вашей задачи. Мы хотим найти все натуральные числа \( n \), такие что \( n^4 - 27n^2 + 121 \) является простым числом.

Для начала, давайте рассмотрим выражение \( n^4 - 27n^2 + 121 \) и упростим его. Заметим, что это является квадратным трехчленом с переменной \( n^2 \), поэтому давайте введем новую переменную \( x = n^2 \). Теперь мы можем переписать выражение в виде:

\[ x^2 - 27x + 121 \]

Чтобы найти значения \( n \), для которых это выражение является простым числом, мы должны убедиться, что оно не имеет множителей, кроме 1 и самого себя.

Для начала, давайте проверим, является ли это выражение простым числом при \( x = 1 \).

Подставим \( x = 1 \) в выражение \( x^2 - 27x + 121 \):

\[ 1^2 - 27 \cdot 1 + 121 = 95 \]

95 не является простым числом, так как он делится на 5 и 19 (95 = 5 * 19).

Теперь давайте проверим, можно ли разложить \( x^2 - 27x + 121 \) на множители.

Мы знаем, что если это выражение не может быть разложено на множители, то оно является простым числом. Если оно может быть разложено на множители, значит, оно не является простым числом.

Давайте использовать квадратное уравнение для разложения выражения \( x^2 - 27x + 121 \) на множители.

Уравнение имеет вид \( ax^2 + bx + c \), где \( a = 1 \), \( b = -27 \), \( c = 121 \). Для нахождения корней, мы можем использовать формулу квадратного корня:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставим значения \( a \), \( b \), и \( c \) и рассчитаем корни:

\[ x = \frac{-(-27) \pm \sqrt{(-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 121}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 484}}{2} \]

\[ x = \frac{27 \pm \sqrt{245}}{2} \]

Корни этого уравнения имеют вид:

\[ x_1 = \frac{27 + \sqrt{245}}{2} \]
\[ x_2 = \frac{27 - \sqrt{245}}{2} \]

Теперь, чтобы найти значения \( n \), мы должны рассмотреть значения \( x \), которые являются точными квадратами натуральных чисел, так как \( x = n^2 \).

Давайте рассмотрим, значение \( x_1 \):

\[ x_1 = \frac{27 + \sqrt{245}}{2} \]

\[ x_1 = \frac{27 + \sqrt{49 \cdot 5}}{2} \]

\[ x_1 = \frac{27 + 7\sqrt{5}}{2} \]

Мы видим, что \( x_1 \) не является точным квадратом натурального числа.

Теперь давайте рассмотрим значение \( x_2 \):

\[ x_2 = \frac{27 - \sqrt{245}}{2} \]

\[ x_2 = \frac{27 - \sqrt{49 \cdot 5}}{2} \]

\[ x_2 = \frac{27 - 7\sqrt{5}}{2} \]

Мы видим, что \( x_2 \) также не является точным квадратом натурального числа.

Итак, мы рассмотрели все возможные значения \( n \) и увидели, что нет таких значений \( n \), для которых выражение \( n^4 - 27n^2 + 121 \) является простым числом.

В ответе нужно записать "Нет натуральных чисел \( n \), таких что \( n^4 - 27n^2 + 121 \) является простым числом."

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять решение этой задачи. Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать.