Какова вероятность того, что цифра 5 появится восьмой раз, если случайно выбраны и названы 10 цифр?

Viktorovich

38

Предлагаю решить данную задачу следующим образом:

Для начала, давайте рассмотрим все возможные варианты выбора 10 цифр из общего числа цифр от 0 до 9. Количество всех возможных вариантов выбора 10 цифр из 10 возможных цифр составляет \(\binom{10}{10}\) или 1.

Теперь обратим внимание на то, что вероятность появления цифры 5 в выборке может быть представлена как отношение количества исходов, благоприятствующих данному событию, к общему количеству всех возможных исходов выбора.

Сколько раз цифра 5 может появиться в выборке из 10 цифр? Мы знаем, что цифра 5 может появиться от 0 до 8 раз. Однако в задаче требуется найти вероятность появления цифры 5 ровно восьмой раз, поэтому мы должны определить количество благоприятствующих исходов, где цифра 5 появляется восьмой раз.

Для этого давайте вначале выберем позиции, на которых находятся эти восьмые цифры 5 в выборке.

На первую позицию ставим цифру 5.
На вторую позицию ставим цифру 5.
Продолжаем таким образом, пока не заполним все восемь позиций для цифры 5 в выборке.

Далее, на оставшиеся две позиции (позиции, где цифры не являются 5) мы можем поставить любую другую цифру, кроме 5. Количество возможных цифр, которые мы можем выбрать для этих двух позиций, равно 9 (так как у нас всего 10 цифр, а 5 цифр уже заняли данным числом).

Таким образом, количество благоприятствующих исходов можно выразить как \(\binom{10}{8} \cdot \binom{9}{2}\).

Теперь мы можем вычислить вероятность появления цифры 5 восьмой раз следующим образом:

\[P = \frac{{\binom{10}{8} \cdot \binom{9}{2}}}{{\binom{10}{10}}} = \frac{45 \cdot 36}{1} = 1620.\]

Таким образом, вероятность появления цифры 5 восьмой раз в выборке из 10 цифр составляет 1620.