Какова сумма всех натуральных значений m, при которых значение дроби 25/7m-5 будет несократимой?

  • 33
Какова сумма всех натуральных значений m, при которых значение дроби 25/7m-5 будет несократимой?
Антоновна
60
Чтобы найти все натуральные значения m, при которых значение дроби \(\frac{{25}}{{7m-5}}\) будет несократимой, нужно рассмотреть условия, при которых числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме единицы.

Для начала, у нас есть условие, что знаменатель \(7m-5\) не должен быть кратным ни одному из чисел 2, 3, 5, 7, 11, и т.д. То есть, мы должны исключить все значения m, при которых \(7m-5\) делится на одно из этих чисел без остатка.

Теперь давайте посмотрим на выражение \(7m-5\). Преобразуем его, чтобы найти все значения m, удовлетворяющие данному условию.

У нас есть \(7m-5 = p\), где p - простое число (не равно 2 или 5), так как предполагается, что дробь будет несократимой.

Решим это уравнение относительно m:

\[7m = p + 5\]

Теперь, чтобы найти все возможные значения m, мы должны разделить обе стороны на 7:

\[m = \frac{{p+5}}{{7}}\]

Таким образом, мы получаем выражение для m, отображающее значения m, при которых значение дроби будет иметь несократимый вид.

Очевидно, что это выражение дает только целочисленные значения m, так как p - простое число.

Таким образом, мы можем рассмотреть все возможные простые числа, начиная с 7, и вычислить соответствующие значения m, чтобы найти все натуральные значения m, при которых дробь \(\frac{{25}}{{7m-5}}\) будет иметь несократимый вид.

Результаты будут следующими:

При p = 7: \(m = \frac{{7+5}}{{7}} = 2\)

При p = 11: \(m = \frac{{11+5}}{{7}} = 2\)

При p = 13: \(m = \frac{{13+5}}{{7}} = 2\)

При p = 17: \(m = \frac{{17+5}}{{7}} = 3\)

При p = 19: \(m = \frac{{19+5}}{{7}} = 3\)

При p = 23: \(m = \frac{{23+5}}{{7}} = 4\)

И так далее.

Таким образом, сумма всех натуральных значений m, при которых значение дроби \(\frac{{25}}{{7m-5}}\) будет несократимой, будет равна 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + ... = 2 + 3 + 4 + ... = \(\sum_{k=2}^{\infty} k\).

Сумма бесконечного ряда \(\sum_{k=2}^{\infty} k\) равна \(\infty\), так как ряд расходится.

Таким образом, сумма всех натуральных значений m, при которых значение дроби \(\frac{{25}}{{7m-5}}\) будет несократимой, является бесконечной.