Какова сумма всех значений x, таких что f(x)=0, т.е. в являются корнями данного кубического многочлена f(x)=ax^{3

Сквозь_Тьму_7646

22

Чтобы найти сумму всех значений \(x\), которые являются корнями кубического многочлена \(f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\), мы сначала должны определить сам многочлен, зная его значения для трех различных \(x\). Дано, что \(f(-1) = 12\), \(f(0) = 6\) и \(f(1) = 2\).

Давайте посмотрим, какие уравнения можно получить из заданных точек:

1. Подставим \(x=-1\) в многочлен \(f(x)\):
\[f(-1) = a(-1)^{3} + b(-1)^{2} + c(-1) + d = -a + b - c + d = 12\]

2. Подставим \(x=0\) в многочлен \(f(x)\):
\[f(0) = a(0)^{3} + b(0)^{2} + c(0) + d = d = 6\]

3. Подставим \(x=1\) в многочлен \(f(x)\):
\[f(1) = a(1)^{3} + b(1)^{2} + c(1) + d = a + b + c + d = 2\]

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

\[
\begin{cases}
-a + b - c + d = 12 \quad (1) \\
d = 6 \quad (2) \\
a + b + c + d = 2 \quad (3)
\end{cases}
\]

Чтобы найти сумму всех корней, мы должны сначала решить эту систему. Решим систему шаг за шагом:

Из уравнения (2) мы знаем, что \(d = 6\).

Подставим \(d = 6\) в уравнение (1):
\[-a + b - c + 6 = 12\]

Теперь, чтобы сократить переменные, переместим все члены, не содержащие переменных, на правую сторону:
\[-a + b - c = 6\]

Заметим, что уравнение (2) равносильно \(d - 6 = 0\), поскольку \(d = 6\). Таким образом, мы снова имеем уравнение \(d - 6 = 0\), которое уже можно записать как уравнение вида \(0x^{3} + 0x^{2} + 0x - 6 = 0\).

Теперь у нас есть система двух уравнений:

\[
\begin{cases}
-a + b - c = 6 \quad (4) \\
0x^{3} + 0x^{2} + 0x - 6 = 0 \quad (5)
\end{cases}
\]

\((5)\) - уравнение, которое мы получили из уравнения (2).

Из (5) мы получаем, что \(-6 = 0\), что является ложным утверждением. Таким образом, система уравнений несовместна. Это означает, что у нас нет корней многочлена \(f(x)\), поскольку не существуют значения \(x\), для которых \(f(x)\) равен нулю.

Следовательно, сумма всех значений \(x\), для которых \(f(x) = 0\), равна нулю.