What is the simplified form of the expression (1+tan a)(1+cot a) - 1 /sin a cos?

Жираф

6

Хорошо, давайте решим данное выражение по шагам.

Имеем выражение \((1+\tan a)(1+\cot a) - \frac{1}{\sin a \cos a}\). Нам нужно упростить его до минимальной формы. Давайте начнем:

1. Раскроем скобки в первом слагаемом \((1+\tan a)(1+\cot a)\):

\[= 1\times1 + 1\times\cot a + \tan a\times1 + \tan a\times\cot a\]

\[= 1 + \cot a + \tan a + \tan a \cot a\]

2. Раскроем скобки во втором слагаемом \(- \frac{1}{\sin a \cos a}\):

Заметим, что \(\frac{1}{\sin a \cos a}\) может быть записано как \(\frac{1}{\frac{\sin a}{\cos a}}\), и затем мы можем раскрыть обратную дробь:

\[= - \frac{\cos a}{\sin a \cos a}\]

3. Теперь объединим оба слагаемых:

\[= 1 + \cot a + \tan a + \tan a \cot a - \frac{\cos a}{\sin a \cos a}\]

4. Упростим данное выражение. Начнем с объединения слагаемых:

\[= 1 + \cot a + \tan a + \frac{\sin a \cot a}{\cos a} - \frac{\cos a}{\sin a \cos a}\]

5. Заметим, что \(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}\), поэтому можем записать \(\frac{\sin a \cot a}{\cos a}\) как \(\tan a \cot a\):

\[= 1 + \cot a + \tan a + \tan a \cot a - \frac{\cos a}{\sin a \cos a}\]

\[= 1 + \cot a + \tan a + \tan a \cot a - \frac{\cos a}{\sin a \cos a}\]

6. Упростим полученное выражение:

\[= 1 + \cot a + \tan a + \tan a \cot a - \frac{\cos a}{\sin a \cos a}\]

\[= 1 + \cot a + \tan a + \tan a \cot a - \frac{1}{\sin a}\]

7. Теперь упростим \(\cot a + \tan a\) выражение. Обратимся к соотношениям \(\tan a\) и \(\cot a\):

\(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}\) и \(\cot a = \frac{\cos a}{\sin a}\)

Теперь можем провести подстановку:

\[= 1 + \frac{\cos a}{\sin a} + \frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\sin a}{\cos a} \frac{\cos a}{\sin a} - \frac{1}{\sin a}\]

\[= 1 + \frac{\cos a}{\sin a} + \frac{\sin a}{\cos a} + 1 - \frac{1}{\sin a}\]

\[= 2 + \frac{\cos a}{\sin a} + \frac{\sin a}{\cos a} - \frac{1}{\sin a}\]

8. Далее упростим \(\frac{\cos a}{\sin a} + \frac{\sin a}{\cos a}\):

Для упрощения этого понадобится получить общий знаменатель. Умножим первое слагаемое на \(\frac{\cos a}{\cos a}\) и второе слагаемое на \(\frac{\sin a}{\sin a}\):

\[= 2 + \frac{\cos^2 a}{\sin a \cos a} + \frac{\sin^2 a}{\sin a \cos a} - \frac{1}{\sin a}\]

9. Теперь объединим числители дробей с общим знаменателем:

\[= 2 + \frac{\cos^2 a + \sin^2 a}{\sin a \cos a} - \frac{1}{\sin a}\]

10. Мы знаем, что \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\) (тождество Пифагора), поэтому можем записать:

\[= 2 + \frac{1}{\sin a \cos a} - \frac{1}{\sin a}\]

11. Теперь объединим числители дробей:

\[= 2 + \frac{1 - \cos a}{\sin a \cos a}\]

12. Мы знаем, что \(1 - \cos a = \sin^2 a\) (также известное тождество Пифагора), поэтому продолжим упрощение:

\[= 2 + \frac{\sin^2 a}{\sin a \cos a}\]

13. Используем соотношение \(\sin a = \frac{\sin a}{1}\) и записываем:

\[= 2 + \frac{\sin a}{\cos a}\]

14. И последнее, замечаем, что \(\frac{\sin a}{\cos a} = \tan a\), таким образом окончательная упрощенная форма выражения будет:

\[= 2 + \tan a\]

Таким образом, упрощенная форма выражения \((1+\tan a)(1+\cot a) - \frac{1}{\sin a \cos a}\) равна \(2 + \tan a\).