Какова суммарная сила, действующая на положительный заряд, расположенный в вершине равностороннего треугольника

Лариса

10

Чтобы найти суммарную силу, действующую на положительный заряд, расположенный в вершине равностороннего треугольника, где находятся три заряда +2q, +q и +q, нам необходимо применить принцип суперпозиции сил.

Прежде всего, нам нужно определить, какая сила действует на заряд в результате взаимодействия с каждым из других зарядов. Расстояние между зарядами и направление силы определяются законом Кулона.

Для начала, определим силу взаимодействия между зарядами +2q и +q. Сила, действующая на заряд +2q, обусловлена его взаимодействием с зарядом +q. Сила, действующая на заряд +2q, можно найти, используя следующую формулу:

\[F_{12} = k \frac{|q_1 q_2|}{r_{12}^2}\]

где \(F_{12}\) - сила, действующая на заряд 1 в результате взаимодействия с зарядом 2,
\(k\) - постоянная Кулона (\(k \approx 9 \times 10^9 \, \text{Нм}^2/\text{Кл}^2\)),
\(q_1, q_2\) - величины зарядов,
\(r_{12}\) - расстояние между зарядами.

Так как заряд +2q находится на расстоянии \(r\) от заряда +q, мы можем использовать данную формулу и вместо \(q_1\) подставить \(2q\), а вместо \(q_2\) подставить \(q\), так как мы рассматриваем воздействие заряда +q на заряд +2q. Также мы знаем, что в равностороннем треугольнике сторона равна двум радиусам равномерно расположенных точечных зарядов, поэтому расстояние между зарядами будет равно \(r = 2r_{12}\).

Теперь посчитаем силу взаимодействия между зарядом +2q и зарядом +q:

\[F_{12} = k \frac{|2q \cdot q|}{(2r_{12})^2}\]

\[F_{12} = k \frac{|2q \cdot q|}{4r_{12}^2}\]

\[F_{12} = k \frac{|2q^2|}{4r_{12}^2}\]

\[F_{12} = \frac{kq^2}{2r_{12}^2}\]

Теперь нам нужно найти силу взаимодействия между зарядами +q и +q, то есть силу, действующую на заряд +q в результате взаимодействия с оставшимся зарядом +q. Мы можем использовать ту же формулу, но вместо \(q_1\) и \(q_2\) подставим \(q\), так как оба заряда имеют одинаковую величину:

\[F_{23} = k \frac{|q \cdot q|}{r_{23}^2}\]

Снова учтем, что расстояние между зарядами равно \(r = 2r_{23}\), и посчитаем силу:

\[F_{23} = k \frac{|q^2|}{(2r_{23})^2}\]

\[F_{23} = k \frac{|q^2|}{4r_{23}^2}\]

\[F_{23} = \frac{kq^2}{4r_{23}^2}\]

Теперь мы можем определить суммарную силу, действующую на заряд в вершине равностороннего треугольника. Суммарная сила будет равна векторной сумме сил \(F_{12}\) и \(F_{23}\):

\[F_{\text{сум}} = \sqrt{{F_{12}}^2 + {F_{23}}^2}\]

\[F_{\text{сум}} = \sqrt{\left(\frac{kq^2}{2r_{12}^2}\right)^2 + \left(\frac{kq^2}{4r_{23}^2}\right)^2}\]

\[F_{\text{сум}} = \sqrt{\frac{k^2q^4}{4r_{12}^4} + \frac{k^2q^4}{16r_{23}^4}}\]

\[F_{\text{сум}} = \sqrt{\frac{k^2q^4}{4r_{12}^4} + \frac{k^2q^4}{16 \cdot 4^4 r_{12}^4}}\]

\[F_{\text{сум}} = \sqrt{\frac{k^2q^4}{4r_{12}^4} + \frac{k^2q^4}{256r_{12}^4}}\]

\[F_{\text{сум}} = \sqrt{\frac{k^2q^4}{4r_{12}^4} \left(1 + \frac{1}{64}\right)}\]

\[F_{\text{сум}} = \sqrt{\frac{k^2q^4}{4r_{12}^4} \cdot \frac{65}{64}}\]

\[F_{\text{сум}} = \frac{kq^2}{2r_{12}^2} \cdot \sqrt{\frac{65}{64}}\]

Таким образом, суммарная сила, действующая на положительный заряд, расположенный в вершине равностороннего треугольника с зарядами +2q и +q, равна \(\frac{kq^2}{2r_{12}^2} \cdot \sqrt{\frac{65}{64}}\).