Какова угловая скорость цилиндра после абсолютно неупругого удара пластилинового шарика массой 10 г, движущегося

Sherlok

63

Для решения этой задачи нам потребуются законы сохранения импульса и момента импульса.

В начальный момент перед ударом, пластилиновый шарик движется со скоростью \(v\) и имеет массу \(m_1 = 10\) г. Цилиндр, в свою очередь, покоится.

После удара пластилиновый шарик прилипает к цилиндру и они начинают двигаться вместе. Определим их общую массу \(M\), складывая массы шарика и цилиндра: \(M = m_1 + m_2 = 10\) г + 200 г = 210 г.

Используя закон сохранения импульса, можем записать:
\((m_1 + m_2)v = Mv"\), где \(v"\) - конечная скорость цилиндра и шарика после удара.

Теперь рассмотрим момент импульса системы до и после удара. Момент импульса - это произведение момента инерции объекта на его угловую скорость. Для цилиндра момент инерции вычисляется по формуле \(I = \frac{1}{2}mR^2\), где \(m\) - масса цилиндра, \(R\) - радиус цилиндра.

Перед ударом момент импульса системы равен нулю, так как цилиндр покоится. После удара момент импульса системы будет равен моменту импульса цилиндра и прилипшего к нему шарика. Обозначим угловые скорости цилиндра и шарика как \(\omega\) и \(\Omega\) соответственно.

Момент импульса цилиндра после удара: \(I\omega" = I\omega\), где \(\omega"\) - конечная угловая скорость цилиндра.

Масса пластилинового шарика достаточно мала по сравнению с массой цилиндра, поэтому можно принять, что влияние шарика на момент инерции цилиндра незначительно. Таким образом, \(I\omega = \frac{1}{2}m_2R^2\omega\).

Теперь можем составить уравнение на основе закона сохранения момента импульса:
\(\frac{1}{2}m_2R^2\omega = I\omega"\).

Подставляя найденное значение момента инерции цилиндра, получим:
\(\frac{1}{2} \cdot 200 \, \text{г} \cdot (0,2 \, \text{м})^2 \cdot \omega = \frac{1}{2} \cdot 0,2 \, \text{м} \cdot 0,2 \, \text{м} \cdot 210 \, \text{г} \cdot \omega"\).

Масса цилиндра и радиус даны в граммах и сантиметрах соответственно, поэтому нам нужно перевести их в килограммы и метры:
\(m_2 = 200 \, \text{г} = 0,2 \, \text{кг}\),
\(R = 20 \, \text{см} = 0,2 \, \text{м}\).

Проведя несложные математические вычисления, упростим уравнение и найдем значение угловой скорости цилиндра после удара:
\(\omega" = \frac{m_2R^2}{MR} \cdot \omega\).

Подставив все известные значения, получаем:
\(\omega" = \frac{0,2 \, \text{кг} \cdot (0,2 \, \text{м})^2}{0,21 \, \text{кг} \cdot 0,15 \, \text{м}} \cdot \omega\).

Вычисляя данное выражение, получаем значение угловой скорости цилиндра после удара.