Какова угловая скорость тела в момент времени t = 2 с, если угловое ускорение изменяется согласно закону ε = 3t2

Дельфин_1959

59

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать формулы, связывающие угловую скорость, угловое ускорение и время.

Угловая скорость задается формулой:
\(\omega = \omega_0 + \int_{t_0}^{t} \varepsilon \, dt\)

Угловое ускорение задано как функция времени \(\varepsilon = 3t^2\), а начальная угловая скорость составляет \(\omega_0 = 2\) рад/с. Мы хотим найти угловую скорость в момент времени \(t = 2\) секунды.

Для начала, найдем значение интеграла \(\int_{t_0}^{t} \varepsilon \, dt\) по заданному угловому ускорению:

\(\int_{t_0}^{t} \varepsilon \, dt = \int_{0}^{2} 3t^2 \, dt\)

Чтобы вычислить данный интеграл, возьмем первообразную функции \(\varepsilon = 3t^2\):
\(F(t) = t^3\)

Тогда интеграл равен:
\(\int_{t_0}^{t} \varepsilon \, dt = F(t) - F(t_0) = t^3 - 0^3 = t^3\)

Теперь, подставим значения \(t_0\) и \(t\) в формулу для угловой скорости и вычислим ее:

\(\omega = \omega_0 + \int_{t_0}^{t} \varepsilon \, dt = 2 + 2^3 = 2 + 8 = 10\) рад/с

Таким образом, в момент времени \(t = 2\) секунды угловая скорость тела составит \(10\) рад/с.