Какова величина потенциальной энергии в точке, заданной радиус-вектором (x, y, z), если величина центральной силы

Владимир

47

Для решения этой задачи нам необходимо воспользоваться формулой для потенциальной энергии, которая связывает величину потенциальной энергии с изменением расстояния от источника силы.

Формула для потенциальной энергии выглядит следующим образом:

\[ U(r) = -\int F(r) \cdot dr \]

где U(r) - потенциальная энергия в точке с радиус-вектором \(r\), F(r) - центральная сила, действующая на объект, а dr - элементарное изменение радиус-вектора.

В нашем случае центральная сила F(r) изменяется с расстоянием по закону \(f = k \cdot r^{-2h}\), где k = 2 Н·м^2, a r - радиус-вектор точки.

Для решения этой задачи будем использовать метод математического анализа, а именно — интегрирование.

Перед тем как приступить к интегрированию, необходимо проанализировать данную силу и убедиться, что она является центральной.

Центральная сила характеризуется тем, что её направление всегда проходит через центр координатной системы, поэтому она зависит только от удаления объекта от центра и не зависит от его направления.

У нас центральная сила изменяется с расстоянием по закону \(f = k \cdot r^{-2h}\), где \(k = 2\) и \(h\) - некоторая константа.

Проведём анализ данной центральной силы.

1) Изучим влияние степени \(h\) на силу:
- Если \(h > 0\), то сила \(f\) будет уменьшаться при увеличении радиус-вектора \(r\).
- Если \(h < 0\), то сила \(f\) будет увеличиваться при увеличении радиус-вектора \(r\).

2) Теперь рассмотрим изменение силы в зависимости от \(r\):
- При \(r \to 0\), сила \(f\) будет стремиться к бесконечности, поэтому в данной точке сила не определена.
- При \(r \to +\infty\), сила \(f\) будет стремиться к нулю.

Таким образом, в задаче задана центральная сила, которая изменяется с расстоянием \(r\) по закону \(f = k \cdot r^{-2h}\), где \(k = 2\) и \(h\) - константа.

Теперь перейдем к решению задачи и вычислению потенциальной энергии в точке с радиус-вектором (x, y, z).

Используем формулу для потенциальной энергии:

\[ U(r) = -\int F(r) \cdot dr \]

Подставим данную центральную силу \(f = k \cdot r^{-2h}\) в формулу:

\[ U(r) = -\int k \cdot r^{-2h} \cdot dr \]

Теперь проинтегрируем данное выражение. Применяя правило интегрирования, получим:

\[ U(r) = -k \cdot \frac{r^{-2h+1}}{-2h+1} + C \]

где C - постоянная интегрирования.

Учитывая, что потенциальная энергия на бесконечности равна нулю, \(U(\infty) = 0\), можем записать:

\[ U(r) = -k \cdot \frac{r^{-2h+1}}{-2h+1} + C = 0 \]

Теперь найдем константу интегрирования C:

\[ -k \cdot \frac{r^{-2h+1}}{-2h+1} + C = 0 \Rightarrow C = k \cdot \frac{r^{-2h+1}}{-2h+1} \]

Подставим найденное значение C обратно в формулу для потенциальной энергии:

\[ U(r) = -k \cdot \frac{r^{-2h+1}}{-2h+1} + k \cdot \frac{r^{-2h+1}}{-2h+1} \]

Сократим подобные слагаемые:

\[ U(r) = k \cdot \frac{r^{-2h+1}}{-2h+1} \]

Таким образом, величина потенциальной энергии в точке с радиус-вектором (x, y, z) задается формулой:

\[ U(x, y, z) = k \cdot \frac{(x^2 + y^2 + z^2)^{-h+\frac{1}{2}}}{-2h+1} \]

Данная формула позволяет вычислить потенциальную энергию в зависимости от заданных координат (x, y, z), а также заданных значений для констант k и h.