Какова величина выделяющегося тепла в течение 10,0 минут в кипятильнике с сопротивлением 110 ом, подключенном к сети

Анна_8849

17

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать закон Джоуля-Ленца, который гласит, что выделяющаяся тепловая мощность в проводнике пропорциональна квадрату силы тока, проходящего через проводник, и его сопротивлению:

\[P = I^2 \cdot R\]

где P - выделяющаяся тепловая мощность, I - сила тока, а R - сопротивление.

Сначала найдем силу тока, проходящего через кипятильник. Для этого воспользуемся формулой:

\[I = \frac{U}{R}\]

где I - сила тока, U - напряжение, R - сопротивление.

В нашем случае, напряжение в сети меняется по закону \(u = a \cdot \sin(bt)\), где \(a = 311 \, \text{В}\) и \(b = 314 \, \text{рад/с}\). Для нахождения среднего значения напряжения, обратимся к формуле для среднего значения синусоидальной величины:

\[\bar{u} = \frac{2}{T} \int_0^{\frac{T}{2}} u \, dt\]

где \(\bar{u}\) - среднее значение напряжения, \(T\) - период колебания.

Так как у нас заданы значения \(a\) и \(b\), мы можем выразить \(u\) как:

\[u = a \cdot \sin(bt)\]

Теперь подставим данное выражение для напряжения в наше уравнение для нахождения среднего значения напряжения:

\[\bar{u} = \frac{2}{T} \int_0^{\frac{T}{2}} a \cdot \sin(bt) \, dt\]

Для нахождения интеграла, воспользуемся формулой интегрирования синуса:

\[\int \sin(bt) \, dt = -\frac{1}{b} \cdot \cos(bt)\]

Подставим это выражение обратно в формулу для нахождения среднего значения напряжения:

\[\bar{u} = \frac{2}{T} \cdot \left(-\frac{1}{b}\right) \cdot \left[\cos\left( \frac{bT}{2} \right) - \cos(0)\right]\]

Так как \(T = \frac{2\pi}{b}\), подставим это значение в формулу:

\[\bar{u} = \frac{2}{\frac{2\pi}{b}} \cdot \left(-\frac{1}{b}\right) \cdot \left[\cos\left( \frac{b \cdot \frac{2\pi}{b}}{2} \right) - \cos(0)\right]\]

Раскроем скобки и вынесем остаток под знак интеграла:

\[\bar{u} = -\frac{1}{\pi} \cdot \left[\cos(\pi) - \cos(0)\right]\]

Известно, что \(\cos(\pi) = -1\) и \(\cos(0) = 1\), поэтому:

\[\bar{u} = -\frac{1}{\pi} \cdot (-1 - 1) = \frac{2}{\pi}\]

Таким образом, среднее значение напряжения равно \(\frac{2}{\pi}\) В. Теперь мы можем использовать это значение для нахождения силы тока:

\[I = \frac{\bar{u}}{R} = \frac{\frac{2}{\pi}}{110}\]

Распределяя деление получим:

\[I = \frac{2}{110\pi} \approx 0.01816 \, \text{A}\]

Наконец, используем формулу для нахождения выделяющейся тепловой мощности:

\[P = I^2 \cdot R = (0.01816)^2 \cdot 110\]

Рассчитаем это выражение:

\[P \approx 0.0366 \, \text{Вт}\]

Таким образом, величина выделяющегося тепла в течение 10,0 минут в кипятильнике с сопротивлением 110 ом, подключенном к сети переменного тока, составляет приблизительно 0.0366 Вт.