Какова вероятность, что из 300 пробирок, произведенных на автоматической линии, будет нестандартных пробирок?

Yuzhanka

44

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать две величины: количество нестандартных пробирок и общее количество пробирок.

Пусть вероятность появления нестандартной пробирки при производстве одной пробирки составляет \(p\). Тогда вероятность появления стандартной пробирки будет равной \((1 - p)\).

Так как каждая пробирка производится независимо от других, мы можем использовать биномиальное распределение для определения вероятности появления определенного количества нестандартных пробирок из 300.

Формула вероятности биномиального распределения:

\[ P(x) = C(n, x) \cdot p^x \cdot (1 - p)^{n-x} \]

Где:
\( P(x) \) - вероятность появления ровно \( x \) нестандартных пробирок,
\( C(n, x) \) - количество сочетаний из \( n \) элементов по \( x \) элементов (так как порядок не важен),
\( p^x \) - вероятность появления \( x \) нестандартных пробирок,
\( (1 - p)^{n-x} \) - вероятность появления \( (n - x) \) стандартных пробирок.

В нашем случае, \( n = 300 \) (общее количество пробирок), и мы хотим найти вероятность появления нестандартных пробирок, значит, \( x \) (количество нестандартных пробирок) может быть любым числом от 0 до 300.

Таким образом, если нам нужно найти вероятность появления как минимум одной нестандартной пробирки (то есть, не равной нулю), мы можем использовать формулу:

\[ P(x \geq 1) = 1 - P(x = 0) \]

Теперь давайте решим эту задачу численно для некоторых значений \( p \). Например, предположим, что вероятность появления нестандартной пробирки \( p \) равна 0,05 (или 5%). Тогда:

\[ P(x \geq 1) = 1 - P(x = 0) = 1 - C(300,0) \cdot 0.05^0 \cdot (1 - 0.05)^{300-0} = 1 - 0.95^{300} \]

С помощью калькулятора или программы для вычисления степени мы найдем, что \( P(x \geq 1) \approx 1 - 0.002627 \approx 0.997373 \).

Итак, вероятность того, что из 300 пробирок, произведенных на автоматической линии, будет хотя бы одна нестандартная пробирка (при условии, что вероятность появления нестандартной пробирки равна 0,05), составляет примерно 0,997373 или около 99,74%.

Напомним, что это конкретный пример для \( p = 0,05 \), и для других значений \( p \) результаты будут различными. Вы можете использовать эту формулу и численные методы для нахождения вероятности в других случаях.