Найдите значения α и β, при которых выполняется уравнение αа + βв + с = 0 для данных векторов а(1;3), в(2;-1

Радужный_Лист

67

Для данного уравнения требуется найти значения коэффициентов α и β, при которых выполняется условие αа + βв + с = 0. Даны векторы а(1;3), в(2;-1) и с(-4;1).

Давайте решим данную задачу пошагово:

1. Подставим значения векторов а, в и с в уравнение αа + βв + с = 0:
α(1;3) + β(2;-1) + (-4;1) = 0

2. Раскроем скобки, учитывая, что умножение коэффициента на вектор означает умножение каждой компоненты вектора на данный коэффициент:
α(1;3) + β(2;-1) - (4;1) = (α; 3α) + (2β; -β) - (4;1) = (α + 2β - 4; 3α - β + 1) = (0;0)

Получаем следующую систему уравнений:
α + 2β - 4 = 0
3α - β + 1 = 0

3. Решим данную систему уравнений. Для этого можно использовать метод замены или метод подстановки. Воспользуемся методом замены:

Из первого уравнения получаем: α = 4 - 2β

Подставим α во второе уравнение:
3(4 - 2β) - β + 1 = 0
12 - 6β - β + 1 = 0
11 - 7β = 0

Решим полученное линейное уравнение:
-7β = -11
β = \(\frac{{-11}}{{-7}}\)
β = \(\frac{{11}}{{7}}\)

4. Теперь найдем значение α, подставив найденное значение β в первое уравнение:
α = 4 - 2β
α = 4 - 2(\(\frac{{11}}{{7}}\))
α = 4 - \(\frac{{22}}{{7}}\)
α = \(\frac{{28 - 22}}{{7}}\)
α = \(\frac{{6}}{{7}}\)

Таким образом, значения α и β, при которых выполняется уравнение αа + βв + с = 0 для данных векторов а(1;3), в(2;-1) и с(-4;1), равны α = \(\frac{{6}}{{7}}\) и β = \(\frac{{11}}{{7}}\).