Какова вероятность, что монету будут подбрасывать 7 раз, пока не выпадет тройка решек подряд, если монета несимметрична

David

5

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется понять последовательность событий, которая приведет к выпадению трех решек подряд при 7 подбрасываниях монеты.

Давайте рассмотрим возможные случаи:

1. Если первый подбрасывание дает орла (0.3 вероятность), то вероятность получить тройку решек подряд за оставшиеся 6 подбрасываний равна вероятности выпадения такой тройки в 6 подбрасываниях. Это можно представить следующим образом: \((0.7)^3 = 0.343\).

2. Если первый подбрасывание дает решку (0.7 вероятность), мы должны рассмотреть две возможности:

2.1. Если второе подбрасывание также дает решку (0.7 вероятность), то вероятность получить тройку решек подряд за оставшиеся 5 подбрасываний равна вероятности выпадения такой тройки в 5 подбрасываниях. То есть \((0.7)^3 = 0.343\).

2.2. Если второе подбрасывание дает орла (0.3 вероятность), мы должны рассмотреть две последовательности:

2.2.1. Если третье подбрасывание дает орла (0.3 вероятность), то вероятность получить тройку решек подряд за оставшиеся 4 подбрасывания равна вероятности выпадения такой тройки в 4 подбрасываниях. То есть \((0.7)^3 = 0.343\).

2.2.2. Если третье подбрасывание дает решку (0.7 вероятность), мы должны рассмотреть две последовательности:

2.2.2.1. Если четвертое подбрасывание дает орла (0.3 вероятность), то вероятность получить тройку решек подряд за оставшиеся 3 подбрасывания равна вероятности выпадения такой тройки в 3 подбрасываниях. То есть \((0.7)^3 = 0.343\).

2.2.2.2. Если четвертое подбрасывание дает решку (0.7 вероятность), мы должны рассмотреть две последовательности:

2.2.2.2.1. Если пятое подбрасывание дает орла (0.3 вероятность), то вероятность получить тройку решек подряд за оставшиеся 2 подбрасывания равна вероятности выпадения такой тройки в 2 подбрасываниях. То есть \((0.7)^2 = 0.49\).

2.2.2.2.2. Если пятое подбрасывание дает решку (0.7 вероятность), мы должны рассмотреть две последовательности:

2.2.2.2.2.1. Если шестое подбрасывание дает орла (0.3 вероятность), то вероятность получить тройку решек подряд за оставшееся одно подбрасывание равна вероятности выпадения такой тройки в 1 подбрасывании. То есть \(0.7\).

2.2.2.2.2.2. Если шестое подбрасывание дает решку (0.7 вероятность), мы получаем тройку решек подряд.

Теперь осталось сложить все эти вероятности, учитывая количество возможных последовательностей для каждого случая:

\[
P = 0.3 \cdot 0.343 + 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.343 + 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.3 \cdot 0.343 + 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.3 \cdot 0.49 + 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.7 \cdot 0.3
\]

Вычислив эту сумму, получим вероятность выпадения трех решек подряд за 7 подбрасываний монеты.