Сколько времени рабочему потребовалось, чтобы выкопать колодец глубиной 8 м, учитывая то, что каждый день он выкапывал

Черешня_8940

22

Для решения данной задачи нам потребуется применить сумму арифметической прогрессии, так как каждый день рабочий выкапывает на 0,1 меньше, чем в предыдущий день.

Чтобы выкопать колодец глубиной 8 м, рабочему потребуется выкопать сначала самую глубокую часть (8 м), затем следующую по глубине (8 - 0,1), далее следующую (8 - 2 * 0,1) и так далее, пока не достигнет самой неглубокой части (8 - n * 0,1), где n - количество дней, потребовавшихся для выкопывания колодца.

Заметим, что последний день рабочий выкопал самую неглубокую часть (8 - n * 0,1), которая равна 0,1 м. Таким образом, рабочий выкопал колодец в течение n дней, где на первый день он выкопал 8 м, на второй день - (8 - 0,1), на третий день - (8 - 2 * 0,1) и так далее.

Сумма арифметической прогрессии можно вычислить по формуле:

\[S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\]

где:
\(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии,
\(a_1\) - первый член прогрессии (8 м),
\(a_n\) - последний член прогрессии (8 - n * 0,1 м).

Так как последний член прогрессии равен 0,1 м, то:

\[a_n = 8 - n \cdot 0,1\]

Теперь подставим значения в формулу:

\[S_n = \frac{n(8 + (8 - n \cdot 0,1))}{2}\]

Уравнение для нахождения n:

\[S_n = 8n - 0,05n^2 \]

Для нахождения n решим уравнение:

\[8n - 0,05n^2 = 8\]

\[0,05n^2 - 8n + 8 = 0\]

Далее применяем квадратное уравнение, находим его корни:

\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 0,05 \cdot 8 = 64 - 1,6 = 62,4\]

\[n_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{62,4}}{2 \cdot 0,05} \approx 10,53\]

\[n_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{62,4}}{2 \cdot 0,05} \approx 149,47\]

Так как n - количество дней, оно не может быть дробным или отрицательным. Поэтому рассматриваем только целочисленные значения.

Итак, рабочему потребуется примерно 11 дней, чтобы выкопать колодец глубиной 8 м.