Какова вероятность, что в семье из четырех детей будет три мальчика? Какова вероятность, что в семье из четырех детей

Лунный_Свет_9456

68

Давайте рассмотрим каждую из задач по очереди:

1. Какова вероятность, что в семье из четырех детей будет три мальчика?

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. При условии, что каждый ребенок может быть либо мальчиком, либо девочкой (с равной вероятностью), у нас есть 4 испытания (рождение каждого ребенка), где вероятность успеха (рождение мальчика) равна 0,5.

Вероятность того, что будет три мальчика, можно вычислить по формуле биномиального распределения:

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}
\]

Где \(n\) - количество испытаний (рождение детей), \(k\) - количество успехов (рождение мальчиков), \(p\) - вероятность успеха (рождение мальчика).

В данном случае \(n = 4\), \(k = 3\) и \(p = 0,5\). Подставляя значения в формулу, получаем:

\[
P(X = 3) = \binom{4}{3} \cdot 0,5^3 \cdot (1-0,5)^{4-3}
\]

\[
P(X = 3) = 4 \cdot 0,5^3 \cdot 0,5^{1}
\]

\[
P(X = 3) = 4 \cdot 0,125 \cdot 0,5
\]

\[
P(X = 3) = 0,25
\]

Таким образом, вероятность того, что в семье из четырех детей будет три мальчика, равна 0,25.

2. Какова вероятность, что в семье из четырех детей будет не менее трех мальчиков?

Для решения этой задачи мы вычислим вероятность того, что будет ровно три мальчика и вероятность того, что будет четыре мальчика. Затем мы сложим эти две вероятности вместе.

Вероятность ровно трех мальчиков мы уже рассчитали в предыдущей задаче и получили значение 0,25.

Чтобы найти вероятность четырех мальчиков, мы можем использовать ту же формулу биномиального распределения:

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}
\]

В данном случае \(n = 4\), \(k = 4\) и \(p = 0,5\). Подставляя значения в формулу, получаем:

\[
P(X = 4) = \binom{4}{4} \cdot 0,5^4 \cdot (1-0,5)^{4-4}
\]

\[
P(X = 4) = 1 \cdot 0,5^4 \cdot 0,5^{0}
\]

\[
P(X = 4) = 0,0625
\]

Таким образом, вероятность того, что в семье из четырех детей будет четыре мальчика, равна 0,0625.

Теперь мы можем просуммировать вероятности ровно трех и четырех мальчиков:

\[
P(\text{не менее трех мальчиков}) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,25 + 0,0625
\]

\[
P(\text{не менее трех мальчиков}) = 0,3125
\]

Таким образом, вероятность того, что в семье из четырех детей будет не менее трех мальчиков, равна 0,3125.

3. Какова вероятность, что в семье из четырех детей будет два мальчика?

Для решения этой задачи мы можем снова использовать формулу биномиального распределения. Вероятность успеха (рождение мальчика) по-прежнему равна 0,5, а количество испытаний (рождение детей) - 4. Теперь нам нужно рассчитать вероятность, что будет два мальчика, то есть \(k = 2\).

\[
P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0,5^2 \cdot (1-0,5)^{4-2}
\]

Теперь можно вычислить вероятность, подставив значения:

\[
P(X = 2) = 6 \cdot 0,5^2 \cdot 0,5^2
\]

\[
P(X = 2) = 6 \cdot 0,25 \cdot 0,25
\]

\[
P(X = 2) = 0,375
\]

Таким образом, вероятность того, что в семье из четырех детей будет два мальчика, равна 0,375.

4. Какова вероятность поражения цели при четырех выстрелах, если вероятность поражения цели при одном выстреле составляет 0,6? Каково значение х, число поражений цели при четырех выстрелах?

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,6. Мы хотим найти вероятность поражения цели при четырех выстрелах в целом, а также определить значение \(x\), то есть, сколько раз мы поражаем цель.

Вероятность поражения цели при четырех выстрелах можно рассчитать с использованием формулы биномиального распределения:

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}
\]

Здесь \(n = 4\) - количество выстрелов, \(k\) - количество успехов (поражений цели), \(p = 0,6\) - вероятность успеха (поражение цели).

Для определения значения \(x\) мы можем начать с \(x = 0\) и последовательно проверять вероятности для \(x = 0, 1, 2, 3, 4\), пока не найдем соответствующую вероятность.

\[
P(X = 0) = \binom{4}{0} \cdot 0,6^{0} \cdot (1-0,6)^{4-0} = 1 \cdot 1 \cdot 0,4^{4} = 0,4^{4} = 0,0256
\]

\[
P(X = 1) = \binom{4}{1} \cdot 0,6^{1} \cdot (1-0,6)^{4-1} = 4 \cdot 0,6 \cdot 0,4^{3} = 0,1536
\]

\[
P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0,6^{2} \cdot (1-0,6)^{4-2} = 6 \cdot 0,6^{2} \cdot 0,4^{2} = 0,3456
\]

\[
P(X = 3) = \binom{4}{3} \cdot 0,6^{3} \cdot (1-0,6)^{4-3} = 4 \cdot 0,6^{3} \cdot 0,4 = 0,3456
\]

\[
P(X = 4) = \binom{4}{4} \cdot 0,6^{4} \cdot (1-0,6)^{4-4} = 1 \cdot 0,6^{4} \cdot 1 = 0,1296
\]

Таким образом, вероятность поражения цели при четырех выстрелах составляет 0,1296, а значение \(x\) (число поражений цели) равно 4.