Какова вероятность принятия партии из 100 изделий, содержащей 5% брака, при условии, что половина изделий подвергается

Puteshestvennik

11

Для решения данной задачи мы можем использовать понятие биномиального распределения.

Для начала определимся с вероятностью брака. У нас изначально есть 100 изделий, из которых 5% являются бракованными. То есть, вероятность выбрать бракованное изделие равна 0.05.

Далее, половина изделий (т.е. 50 изделий) подвергается проверке. При этом допускается не более 2% брака. То есть, если бракованных изделий будет больше 1, то такая партия будет считаться недопустимой.

Для того чтобы найти вероятность принятия партии, мы можем рассмотреть несколько случаев.

1. Случай, когда в партии нет бракованных изделий. Вероятность такого случая равна произведению вероятностей выбрать небракованное изделие для каждого из 50 изделий, т.е. \(P_1 = (1-0.05)^{50}\).

2. Случай, когда в партии есть 1 бракованное изделие. Вероятность этого случая равна произведению вероятностей выбрать 1 бракованное и 49 небракованных изделий, т.е. \(P_2 = 50 \cdot 0.05 \cdot (1-0.05)^{49}\).

3. Случай, когда в партии есть 2 бракованных изделия. Вероятность этого случая равна произведению вероятностей выбрать 2 бракованных и 48 небракованных изделия, т.е. \(P_3 = \binom{50}{2} \cdot (0.05)^2 \cdot (1-0.05)^{48}\).

Теперь найдем общую вероятность принятия партии. Поскольку нам нужно допускать не более 2% брака, то мы должны учесть все случаи, когда в партии нет бракованных изделий, есть 1 бракованное или есть 2 бракованных изделия. То есть, вероятность принятия партии равна сумме вероятностей этих трех случаев:

\[P_{\text{прин.}} = P_1 + P_2 + P_3\]

Подставляя значения, получаем:

\[P_{\text{прин.}} = (1-0.05)^{50} + 50 \cdot 0.05 \cdot (1-0.05)^{49} + \binom{50}{2} \cdot (0.05)^2 \cdot (1-0.05)^{48}\]

Путем вычислений мы получим числовое значение вероятности принятия партии.