Какова вероятность того, что герб появится в два раза реже, чем цифра , после девяти бросков монеты?

Валентинович

6

Чтобы решить данную задачу, давайте сначала определимся с понятием "герб появится в два раза реже, чем цифра". Это значит, что вероятность выпадения "герба" после девяти бросков монеты будет в два раза меньше, чем вероятность выпадения "цифры". Пусть p - вероятность выпадения "герба" при одном броске, а q - вероятность выпадения "цифры" при одном броске.

Теперь, чтобы найти вероятность выпадения "герба" после девяти бросков монеты, мы должны учесть, что выпадение каждого "герба" и "цифры" независимо друг от друга и имеет одинаковые вероятности в каждом броске.

Таким образом, вероятность выпадения "герба" при девяти бросках будет равна вероятности получить 0, 2, 4, 6, 8 гербов и 1, 3, 5, 7, 9 цифр. Тогда вероятность такого исхода можно рассчитать с помощью биномиального распределения.

Формула биномиального распределения имеет вид:
\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

Где P(X = k) - вероятность получить k "гербов" и (n - k) "цифр", C_n^k - количество способов выбрать k успехов из n испытаний, p^k - вероятность успеха в k испытаниях и q^(n-k) - вероятность неудачи в (n - k) испытаниях.

В нашей задаче n = 9 и k может принимать значения 0, 2, 4, 6, 8. Таким образом, мы можем записать вероятность выпадения "герба" после девяти бросков монеты следующим образом:

\[ P(\text{"герб"} \, \text{после} \, \text{9} \, \text{бросков}) = P(X = 0) + P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 6) + P(X = 8) \]

Теперь остается только заполнить значения в формуле, используя p и q.

Поскольку вероятность выпадения "герба" в два раза меньше вероятности выпадения "цифры", мы можем записать следующее соотношение:
\[ p = \frac{1}{3} \cdot q \]

Решая это уравнение, мы можем получить:
\[ q = \frac{3}{4} \]
\[ p = \frac{1}{4} \]

Теперь мы можем подставить значения в нашу формулу биномиального распределения и рассчитать вероятность:

\[ P(\text{"герб"} \, \text{после} \, \text{9} \, \text{бросков}) = C_9^0 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^0 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^9 + C_9^2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^7 + C_9^4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^5 + C_9^6 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^6 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3 + C_9^8 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^8 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^1 \]

Также можно заметить, что данная задача связана с биномиальным распределением с параметрами n = 9 и p = 1/4. Поэтому существует другой способ решения задачи с помощью биномиальной вероятности. Мы можем воспользоваться таблицей или формулой для определения вероятности в каждом случае.

Таким образом, вероятность того, что "герб" появится в два раза реже, чем "цифра", после девяти бросков монеты составляет сумму вероятностей для каждого значения k:
\[ P(\text{"герб"} \, \text{после} \, \text{9} \, \text{бросков}) = 0.1964 + 0.4268 + 0.3154 + 0.1166 + 0.0193 = 1 \]

Таким образом, вероятность выпадения "герба" в два раза реже, чем "цифры" после девяти бросков монеты составляет 1 или 100%.