Найдите наименьшее значение знаменателя суммы двух дробей, если знаменатели этих дробей равны 600 и 700 и дроби

Добрый_Дракон

36

Давайте решим задачу пошагово.

1. Сначала нам нужно найти сумму двух дробей. Для этого сложим их числители и оставим общий знаменатель. Давайте обозначим первую дробь как \(\frac{a}{600}\) и вторую дробь как \(\frac{b}{700}\), где \(a\) и \(b\) - числители этих дробей.

2. Сумма двух дробей будет иметь вид \(\frac{a}{600} + \frac{b}{700}\). Чтобы складывать дроби с разными знаменателями, нам нужно привести их к общему знаменателю. В данной задаче общий знаменатель будет \(LCM(600, 700)\), где \(LCM\) обозначает наименьшее общее кратное.

3. Рассчитаем наименьшее общее кратное знаменателей. Для этого найдем простые числа, на которые делятся 600 и 700, и возьмем каждое из этих чисел в наивысшей степени, встречающейся в одном из чисел. Таким образом:

600 = \(2^3 \cdot 3 \cdot 5^2\)

700 = \(2^2 \cdot 5^2 \cdot 7\)

Наименьшее общее кратное (НОК) будет равно:

\(LCM(600, 700) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7\)

4. Теперь, когда у нас есть общий знаменатель, мы можем сложить дроби:

\(\frac{a}{600} + \frac{b}{700} = \frac{a \cdot (LCM(600, 700) / 600)}{1} + \frac{b \cdot (LCM(600, 700) / 700)}{1}\)

Упростим это выражение:

\(\frac{a \cdot (2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7 / 600)}{1} + \frac{b \cdot (2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7 / 700)}{1}\)

\(\frac{a \cdot (2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7)}{600} + \frac{b \cdot (2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7)}{700}\)

5. Теперь наша сумма имеет общий знаменатель \(2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7\). Для того чтобы найти минимальное значение знаменателя, нам нужно найти наименьшее общее кратное 600 и 700, так чтобы полученная сумма была несократимой дробью.

Найдем наименьшее общее кратное \(LCM(600, 700)\):

\(LCM(600, 700) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7 = 8400\)

Значит, минимальное значение знаменателя суммы двух дробей равно 8400.