Какова вероятность того, что хотя бы одна из трех частей, на которые случайным образом разделен отрезок длины 5, будет

Kroshka

34

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.

Предположим, что отрезок длины 5 разделен на три части случайным образом. Назовем эти части А, В и С. Наша задача - найти вероятность того, что хотя бы одна из этих частей будет иметь длину меньше 1.

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим все возможные случаи, когда одна из частей имеет длину меньше 1:

1) Первая часть имеет длину меньше 1, а остальные две части имеют длину больше или равную 1.

Вероятность этого события можно рассчитать следующим образом:
\[P(\text{{первая часть меньше 1}}) = \frac{1}{5}\]
(поскольку длина первой части должна быть меньше 1 из общей длины отрезка 5)

Далее, нам нужно учесть, что остальные две части должны иметь длину больше или равную 1. Поскольку отрезок первой части занимает уже 1 из 5, оставшиеся 4 единицы распределяются на две оставшиеся части. Каждая из них может иметь длину в диапазоне от 1 до 4. Таким образом, вероятность того, что обе оставшиеся части имеют длину больше или равную 1, равна:
\[P(\text{{длина остальных двух частей больше или равна 1}}) = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}\]
(поскольку каждая из оставшихся частей может занимать любое значение в диапазоне от 1 до 4)

По правилу умножения вероятностей, вероятность того, что первая часть имеет длину меньше 1, а остальные две части имеют длину больше или равную 1, равна:
\[P(\text{{первая часть меньше 1 и остальные две больше или равны 1}}) = P(\text{{первая часть меньше 1}}) \cdot P(\text{{длина остальных двух частей больше или равна 1}}) = \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2\]

2) Аналогично, мы также можем рассмотреть случаи, когда вторая или третья часть имеет длину меньше 1. Вероятности таких случаев вычисляются аналогичным образом.

Вероятность того, что вторая часть имеет длину меньше 1, а остальные две части имеют длину больше или равную 1, равна:
\[P(\text{{вторая часть меньше 1 и остальные две больше или равны 1}}) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{5}\]

Вероятность того, что третья часть имеет длину меньше 1, а остальные две части имеют длину больше или равную 1, равна:
\[P(\text{{третья часть меньше 1 и остальные две больше или равны 1}}) = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5}\]

3) Наконец, мы должны учесть случай, когда все три части имеют длину меньше 1.

Вероятность этого случая можно рассчитать таким же образом:
\[P(\text{{все три части меньше 1}}) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}\]

Теперь мы можем найти общую вероятность того, что хотя бы одна из трех частей будет иметь длину меньше 1, сложив вероятности всех трех случаев:
\[P(\text{{хотя бы одна часть меньше 1}}) = P(\text{{первая часть меньше 1 и остальные две больше или равны 1}}) + P(\text{{вторая часть меньше 1 и остальные две больше или равны 1}}) + P(\text{{третья часть меньше 1 и остальные две больше или равны 1}}) + P(\text{{все три части меньше 1}})\]

Подставляя значения, мы получаем:
\[P(\text{{хотя бы одна часть меньше 1}}) = \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}\]

После проведения всех необходимых вычислений мы получим окончательный ответ на задачу. Мы можем сократить эту дробь до необходимой точности, которая будет представлять вероятность того, что хотя бы одна из трех частей будет иметь длину меньше 1.