Какова вероятность того, что хотя бы одна клетка будет покрашена дважды в клетчатом прямоугольнике высотой 3 и шириной

Карамелька

27

Для решения данной задачи посчитаем вероятность того, что ни одна клетка не будет покрашена дважды, а затем вычтем это значение из 100% для получения вероятности покрасить хотя бы одну клетку дважды.

Для начала определим общее количество возможных способов окрасить прямоугольник. У нас есть клетчатый прямоугольник высотой 3 и шириной 31, поэтому всего имеется 93 клетки.

Теперь рассмотрим Васин прямоугольник размером 1×2 клетки. В вертикальном положении у него будет 3 положения (так как прямоугольник высотой 3), а в горизонтальном 31 положение (так как прямоугольник шириной 31).

Петин прямоугольник имеет размер 2×1 клетки. В вертикальном положении у него будет 31 положение (так как прямоугольник шириной 31), а в горизонтальном 3 положения (так как прямоугольник высотой 3).

Таким образом, общее количество способов окрасить прямоугольник Васей и Петей равно произведению числа способов окрасить его Васей и число способов окрасить его Петей:
\(3 \times 31 \times 31 \times 3 = 2889\)

Теперь рассмотрим количество способов, при которых ни одна клетка не будет покрашена дважды. Для этого рассмотрим каждый возможный вариант расположения Васиного и Петиного прямоугольников и посчитаем количество способов окрасить клетки так, чтобы ни одна клетка не была покрашена дважды.

При каждом размещении Васиного прямоугольника в вертикальном положении и Петиного прямоугольника в горизонтальном положении, мы должны красить только новые клетки, которые не были покрашены ранее.

При каждом размещении Васиного прямоугольника в горизонтальном положении и Петиного прямоугольника в вертикальном положении также мы должны красить только новые клетки, которые не были покрашены ранее.

Таким образом, для каждого способа размещения Васиного и Петиного прямоугольников у нас будет \(2 \times 93 = 186\) способов окрасить клетки без повторений.

Теперь мы можем вычислить вероятность покрасить хотя бы одну клетку дважды, вычтя количество способов без повторений из общего количества способов:
\(1 - \frac{186}{2889} \approx 0.9353\)

Полученное значение представим в процентах и округлим до целого числа:
\(0.9353 \times 100\% \approx 94\%\)

Итак, вероятность того, что хотя бы одна клетка будет покрашена дважды в данном клетчатом прямоугольнике размером 3x31, если Вася окрашивает прямоугольник размером 1x2 клетки, а Петя окрашивает прямоугольник размером 2x1 клетки, составляет около 94%.