Какова вероятность того, что из 60 студентов: а) 45 студентов сдают контрольную работу вовремя; б) больше половины

Gloriya

68

Для решения данной задачи, нам необходимо знать общее количество студентов и количество студентов, которые сдают контрольную работу вовремя.

Перейдем к решению:

а) Вероятность того, что 45 студентов из 60 сдают контрольную работу вовремя:

Для расчета вероятности, мы делим нужное количество студентов на общее количество студентов:

\[P(A) = \frac{{\text{{Количество студентов, сдавших работу вовремя}}}}{{\text{{Общее количество студентов}}}}\]

В нашем случае, количество студентов, сдавших работу вовремя - 45, общее количество студентов - 60:

\[P(A) = \frac{{45}}{{60}} = \frac{{3}}{{4}}\]

Таким образом, вероятность того, что 45 студентов из 60 сдают контрольную работу вовремя, равна \(\frac{{3}}{{4}}\) или 0.75.

б) Вероятность того, что больше половины студентов сдают контрольную работу вовремя:

Чтобы решить эту задачу, нам нужно знать количество студентов, которые сдают работу вовремя и половину от общего числа студентов, чтобы узнать, какое количество студентов составляет больше половины.

В данном случае, половина от общего количества студентов будет:

\[\frac{{\text{{Общее количество студентов}}}}{2} = \frac{{60}}{2} = 30\]

Таким образом, нужно найти вероятность того, что количество студентов, сдавших работу вовремя, больше 30.

Так как количество студентов, сдавших работу вовремя, находится в диапазоне от 31 до 60, то мы должны сложить вероятности для каждого числа студентов в этом диапазоне.

\[P(B) = P(31) + P(32) + P(33) + ... + P(59) + P(60)\]

Вероятность для каждого числа можно рассчитать так:

\[P(n) = \binom{60}{n} \cdot p^n \cdot (1-p)^{60-n}\]

где \(\binom{60}{n}\) - это количество способов выбрать \(n\) студентов из общего числа студентов 60, \(p\) - вероятность сдачи работы вовремя.

\[P(B) = P(31) + P(32) + P(33) + ... + P(59) + P(60)\]

\[P(B) = \sum_{n=31}^{60} \binom{60}{n} \cdot p^n \cdot (1-p)^{60-n}\]

Мы также можем заметить, что это равносильно нахождению вероятности того, что меньше или равно 30 студентов не сдали работу вовремя:

\[P(B) = 1 - P(\text{меньше или равно 30 студентов не сдали работу вовремя})\]

\[P(B) = 1 - \sum_{n=0}^{30} \binom{60}{n} \cdot p^n \cdot (1-p)^{60-n}\]

в) Вероятность того, что от 40 до 50 студентов сдают контрольную работу вовремя:

Чтобы решить эту задачу, мы должны найти вероятность того, что количество студентов, сдавших работу вовремя, находится в диапазоне от 40 до 50.

\[P(C) = P(40) + P(41) + P(42) + ... + P(49) + P(50)\]

Где вероятность для каждой цифры можно рассчитать так же, как и в пункте б:

\[P(n) = \binom{60}{n} \cdot p^n \cdot (1-p)^{60-n}\]

\[P(C) = \sum_{n=40}^{50} \binom{60}{n} \cdot p^n \cdot (1-p)^{60-n}\]

Это и есть ответ на задачи а), б) и в). Verdana