1) Пожалуйста, найдите производную функции y = x² - -2sin(2x) + x-¹. 2) Пожалуйста, найдите площадь ограниченной

Martyshka_5496

41

Конечно, я помогу вам с решением задач. Давайте начнем с первой задачи.

1) Для нахождения производной функции y = x² - 2sin(2x) + x⁻¹, мы будем применять правила дифференцирования по частям и правило производной суммы.

Формула для производной функции, состоящей из суммы функций, выглядит следующим образом:

$$\frac{d}{dx}(f(x)+g(x))=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)$$

Также, нам понадобится правило дифференцирования функций вида sin(ax), где a - постоянная:

$$\frac{d}{dx}(sin(ax))=acos(ax)$$

Применяя эти правила поочередно, найдем производную заданной функции:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x²)-\frac{d}{dx}(2sin(2x))+\frac{d}{dx}(x⁻¹)$$

$$\frac{dy}{dx}=2x-2\cdot 2\cdot cos(2x)-(-1)x^{-2}$$

$$\frac{dy}{dx}=2x+4cos(2x)+\frac{1}{x^2}$$

Таким образом, производная функции y = x² - 2sin(2x) + x⁻¹ равна 2x + 4cos(2x) + x⁻².

Перейдем к решению второй задачи.

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками y = -x² + 1 и y = 0, необходимо найти интеграл функции, представляющей границы этой фигуры.

Границы фигуры представлены двумя функциями: y = -x² + 1 и y = 0. Чтобы найти точки пересечения этих функций, мы решим уравнение:

-x² + 1 = 0

Перенесем все в левую часть уравнения:

x² - 1 = 0

Факторизуем это уравнение:

(x - 1)(x + 1) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x = 1 и x = -1.

Итак, для нахождения площади ограниченной фигуры, мы будем использовать интеграл:

$$S={\int }_{-1}^1(-x²+1)dx$$

Выполним интегрирование:

$$S={[-\frac{x³}{3}+x]}_{-1}^1$$

$$S=(-\frac{1³}{3}+1)-(-\frac{(-1)³}{3}+(-1))$$

$$S=(-\frac{1}{3}+1)-(\frac{1}{3}-1)$$

$$S=\left(\frac{2}{3}\right)-\left(\frac{-2}{3}\right)$$

$$S=\frac{4}{3}$$

Таким образом, площадь ограниченной фигуры равна $\frac{4}{3}$.

Надеюсь, эти пошаговые решения были понятными и полезными для вас.