1) Пожалуйста, найдите производную функции y = x² - -2sin(2x) + x-¹. 2) Пожалуйста, найдите площадь ограниченной

Martyshka_5496

41

Конечно, я помогу вам с решением задач. Давайте начнем с первой задачи.

1) Для нахождения производной функции y = x² - 2sin(2x) + x⁻¹, мы будем применять правила дифференцирования по частям и правило производной суммы.

Формула для производной функции, состоящей из суммы функций, выглядит следующим образом:

\[\frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = \frac{d}{dx}f(x) + \frac{d}{dx}g(x)\]

Также, нам понадобится правило дифференцирования функций вида sin(ax), где a - постоянная:

\[\frac{d}{dx}(sin(ax)) = acos(ax)\]

Применяя эти правила поочередно, найдем производную заданной функции:

\[\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x²) - \frac{d}{dx}(2sin(2x)) + \frac{d}{dx}(x⁻¹)\]

\[\frac{dy}{dx} = 2x - 2 \cdot 2 \cdot cos(2x) - (-1)x^{-2}\]

\[\frac{dy}{dx} = 2x + 4cos(2x) + \frac{1}{x^2}\]

Таким образом, производная функции y = x² - 2sin(2x) + x⁻¹ равна 2x + 4cos(2x) + x⁻².

Перейдем к решению второй задачи.

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками y = -x² + 1 и y = 0, необходимо найти интеграл функции, представляющей границы этой фигуры.

Границы фигуры представлены двумя функциями: y = -x² + 1 и y = 0. Чтобы найти точки пересечения этих функций, мы решим уравнение:

-x² + 1 = 0

Перенесем все в левую часть уравнения:

x² - 1 = 0

Факторизуем это уравнение:

(x - 1)(x + 1) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x = 1 и x = -1.

Итак, для нахождения площади ограниченной фигуры, мы будем использовать интеграл:

\[S = \int_{-1}^{1} (-x² + 1) dx\]

Выполним интегрирование:

\[S = \left[-\frac{x³}{3} + x\right]_{-1}^{1}\]

\[S = \left(-\frac{1³}{3} + 1\right) - \left(-\frac{(-1)³}{3} + (-1)\right)\]

\[S = \left(-\frac{1}{3} + 1\right) - \left(\frac{1}{3} - 1\right)\]

\[S = \left(\frac{2}{3}\right) - \left(\frac{-2}{3}\right)\]

\[S = \frac{4}{3}\]

Таким образом, площадь ограниченной фигуры равна \(\frac{4}{3}\).

Надеюсь, эти пошаговые решения были понятными и полезными для вас.