Какова вероятность того, что из двух случайно выбранных деталей будет 2 дефектных?

Groza

1

Для решения этой задачи, давайте определим несколько факторов. Предположим, что у нас есть некоторая партия деталей, и из этой партии мы случайно выбираем две детали без возвращения.

Первым шагом мы должны определить общее количество способов выбора двух деталей из этой партии. Для этого мы можем использовать комбинаторную формулу сочетаний. Формула сочетаний выглядит следующим образом:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}
\]

где \(n\) - общее количество объектов, в данном случае деталей, а \(k\) - количество выбираемых объектов, в данном случае две детали.

Теперь давайте посмотрим на вероятность того, что из двух выбранных деталей обе дефектные. Если всего в партии имеется \(d\) дефектных деталей и \(n-d\) деталей без дефектов, то вероятность выбора двух дефектных деталей можно выразить следующим образом:

\[
P = \frac{{C(d, 2)}}{{C(n, 2)}} = \frac{{\frac{{d!}}{{2!(d-2)!}}}}{{\frac{{n!}}{{2!(n-2)!}}}}
\]

Сокращая наши выражения, получим:

\[
P = \frac{{d!}}{{2!(d-2)!}} \cdot \frac{{2!(n-2)!}}{{n!}}
\]

Теперь давайте рассмотрим пример для большей наглядности. Предположим, в партии имеется 10 деталей, из которых 3 дефектных. Мы хотим найти вероятность того, что из двух случайно выбранных деталей будет 2 дефектных.

В этом примере \(n = 10\) и \(d = 3\). Подставим эти значения в нашу формулу:

\[
P = \frac{{3!}}{{2!(3-2)!}} \cdot \frac{{2!(10-2)!}}{{10!}}
\]

Упростим это выражение:

\[
P = \frac{{3!}}{{2!1!}} \cdot \frac{{2!8!}}{{10!}}
\]

Вычислим факториалы:

\[
P = \frac{{6}}{{2}} \cdot \frac{{2 \cdot 40320}}{{3628800}}
\]

Сократив дроби, получим:

\[
P = \frac{{6}}{{2}} \cdot \frac{{80640}}{{3628800}} = \frac{{6}}{{2}} \cdot \frac{{1}}{{45}} = \frac{{1}}{{15}}
\]

Таким образом, вероятность того, что из двух случайно выбранных деталей будет 2 дефектных, равна \(\frac{{1}}{{15}}\).

Надеюсь, это решение помогло вам понять задачу. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!