Какова вероятность того, что из случайно выбранных 6 волокон хлопка определенного сорта: 1) ровно 3 волокна имеют длину

Lyalya

24

Перед тем, как ответить на поставленную задачу, стоит вспомнить несколько базовых понятий, связанных с вероятностью.

Вероятность - это численная характеристика, оценивающая шансы на появление события. Вероятность события \(A\) обозначается \(P(A)\) и находится путем деления числа благоприятных исходов на общее число возможных исходов.

Теперь рассмотрим задачу.
1) Для определения вероятности того, что ровно 3 волокна имеют длину менее 45 мм, нам необходимо знать общее число возможных исходов и число благоприятных исходов.

Общее число возможных исходов можно найти путем вычисления количества сочетаний из 6 волокон по 6 (\(C^{6}_{6}\)). Здесь мы не учитываем порядок расположения волокон, поэтому используется комбинаторный подход.

Количество благоприятных исходов - это количество сочетаний из 3 волокон по 3 (\(C^{3}_{3}\)) умноженное на количество сочетаний из 3 волокон по 3 (\(C^{3}_{3}\)).

Таким образом, вероятность того, что ровно 3 волокна имеют длину менее 45 мм, можно найти по формуле:

\[P = \frac{{C^{3}_{3} \cdot C^{3}_{3}}}{{C^{6}_{6}}}\]

2) Если же мы хотим найти вероятность того, что количество волокон с длиной больше 45 мм будет составлять от 2 до 5, мы должны рассмотреть несколько случаев и сложить вероятности каждого из них.

Составим таблицу возможных комбинаций длин волокон:

\[
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Количество волокон больше 45 мм & Количество волокон меньше или равно 45 мм \\
\hline
2 & 4 \\
3 & 3 \\
4 & 2 \\
5 & 1 \\
\hline
\end{tabular}
\]

Для каждой пары волокон, которая соответствует одному из случаев в таблице, мы можем найти количество благоприятных исходов. Например, для первого случая, когда 2 волокна имеют длину больше 45 мм, а остальные 4 волокна имеют длину меньше или равно 45 мм, количество благоприятных исходов равно \(C^{2}_{6} \cdot C^{4}_{6}\).

Таким же образом мы можем посчитать количество благоприятных исходов для каждого случая из таблицы. После этого, сложив все полученные значения, мы получим общее количество благоприятных исходов.

Окончательно, вероятность того, что количество волокон с длиной больше 45 мм будет составлять от 2 до 5, можно найти по формуле:

\[P = \frac{{(\text{{количество благоприятных исходов для случая 2 волокон больше 45 мм, 4 волокон меньше или равно 45 мм)}} + (\text{{количество благоприятных исходов для случая 3 волокон больше 45 мм, 3 волокон меньше или равно 45 мм)}} + \ldots + (\text{{количество благоприятных исходов для случая 5 волокон больше 45 мм, 1 волокно меньше или равно 45 мм)}})}}{{C^{6}_{6}}}\]

Таким образом, мы можем вычислить вероятность по заданным условиям.