Какова вероятность того, что из трех наугад выбранных панелей с железобетонного завода будут а) все панели высшего

Zvezdopad_V_Kosmose

19

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

а) Высшего сорта - это значит, что панель имеет высшие качественные характеристики. Вероятность выбрать одну такую панель равна доле количества панелей высшего сорта к общему количеству панелей.

Пусть имеется 10 панелей высшего сорта и 30 панелей общего количества. Чтобы выбрать три панели высшего сорта из всех панелей, мы должны выбрать 3 панели из этих 10 панелей высшего сорта и 0 панелей из оставшихся 30 панелей. Формула для расчета вероятности выбора панелей высшего сорта будет выглядеть следующим образом:

$$P(\text{{высшего сорта}})=\frac{\text{{количество способов выбрать 3 панели высшего сорта}}}{\text{{количество всевозможных комбинаций из 3 панелей}}}$$

Количество способов выбрать 3 панели высшего сорта равно количеству сочетаний из 10 элементов по 3:

$$C(10,3)=\frac{10!}{3!(10-3)!}=120$$

Количество всевозможных комбинаций из 3 панелей равно количеству сочетаний из 40 элементов по 3:

$$C(40,3)=\frac{40!}{3!(40-3)!}=9880$$

Подставим значения в формулу:

$$P(\text{{высшего сорта}})=\frac{120}{9880}\approx 0.0121$$

Таким образом, вероятность того, что из трех наугад выбранных панелей будут все панели высшего сорта, составляет около 0.0121 или примерно 1.21%.

б) Для вычисления вероятности, что по крайней мере одна панель будет высшего сорта, мы можем воспользоваться дополнением. Вероятность, что ни одна панель не будет высшего сорта, равна:

$$P(\text{{ни одна панель}})=\frac{\text{{количество способов выбрать 3 панели НЕ высшего сорта}}}{\text{{количество всевозможных комбинаций из 3 панелей}}}$$

Количество способов выбрать 3 панели НЕ высшего сорта равно количеству сочетаний из 30 элементов по 3:

$$C(30,3)=\frac{30!}{3!(30-3)!}=4060$$

Подставим значения в формулу:

$$P(\text{{ни одна панель}})=\frac{4060}{9880}\approx 0.4111$$

Теперь можем найти вероятность того, что по крайней мере одна панель будет высшего сорта, используя дополнение:

$$P(\text{{по крайней мере одна панель}})=1-P(\text{{ни одна панель}})$$

$$P(\text{{по крайней мере одна панель}})=1-0.4111\approx 0.5889$$

Таким образом, вероятность того, что из трех наугад выбранных панелей будет по крайней мере одна панель высшего сорта, составляет около 0.5889 или примерно 58.89%.

в) Чтобы найти вероятность максимум одной панели высшего сорта, нам нужно учесть два случая: когда есть ноль панелей высшего сорта и когда есть ровно одна панель высшего сорта.

Мы уже вычислили вероятность того, что ни одна панель не будет высшего сорта: $P(\text{{ни одна панель}})=0.4111$.

Для вычисления вероятности того, что есть ровно одна панель высшего сорта, мы должны учесть количество способов выбрать одну панель высшего сорта и две панели НЕ высшего сорта:

$$P(\text{{ровно одна панель}})=\frac{\text{{количество способов выбрать 1 панель высшего сорта}}\times \text{{количество способов выбрать 2 панели НЕ высшего сорта}}}{\text{{количество всевозможных комбинаций из 3 панелей}}}$$

Количество способов выбрать 1 панель высшего сорта равно количеству сочетаний из 10 элементов по 1:

$$C(10,1)=\frac{10!}{1!(10-1)!}=10$$

Количество способов выбрать 2 панели НЕ высшего сорта равно количеству сочетаний из 30 элементов по 2:

$$C(30,2)=\frac{30!}{2!(30-2)!}=435$$

Подставим значения в формулу:

$$P(\text{{ровно одна панель}})=\frac{10\times 435}{9880}\approx 0.435$$

Теперь мы можем найти вероятность того, что максимум одна панель будет высшего сорта, используя следующую формулу:

$$P(\text{{максимум одна панель}})=P(\text{{ни одна панель}})+P(\text{{ровно одна панель}})$$

$$P(\text{{максимум одна панель}})=0.4111+0.435\approx 0.8461$$

Таким образом, вероятность того, что из трех наугад выбранных панелей будет максимум одна панель высшего сорта, составляет около 0.8461 или примерно 84.61%.