Какова вероятность того, что из трех наугад выбранных панелей с железобетонного завода будут а) все панели высшего

Zvezdopad_V_Kosmose

19

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

а) Высшего сорта - это значит, что панель имеет высшие качественные характеристики. Вероятность выбрать одну такую панель равна доле количества панелей высшего сорта к общему количеству панелей.

Пусть имеется 10 панелей высшего сорта и 30 панелей общего количества. Чтобы выбрать три панели высшего сорта из всех панелей, мы должны выбрать 3 панели из этих 10 панелей высшего сорта и 0 панелей из оставшихся 30 панелей. Формула для расчета вероятности выбора панелей высшего сорта будет выглядеть следующим образом:

\[
P(\text{{высшего сорта}}) = \frac{{\text{{количество способов выбрать 3 панели высшего сорта}}}}{{\text{{количество всевозможных комбинаций из 3 панелей}}}}
\]

Количество способов выбрать 3 панели высшего сорта равно количеству сочетаний из 10 элементов по 3:

\[
C(10, 3) = \frac{{10!}}{{3!(10-3)!}} = 120
\]

Количество всевозможных комбинаций из 3 панелей равно количеству сочетаний из 40 элементов по 3:

\[
C(40, 3) = \frac{{40!}}{{3!(40-3)!}} = 9880
\]

Подставим значения в формулу:

\[
P(\text{{высшего сорта}}) = \frac{{120}}{{9880}} \approx 0.0121
\]

Таким образом, вероятность того, что из трех наугад выбранных панелей будут все панели высшего сорта, составляет около 0.0121 или примерно 1.21%.

б) Для вычисления вероятности, что по крайней мере одна панель будет высшего сорта, мы можем воспользоваться дополнением. Вероятность, что ни одна панель не будет высшего сорта, равна:

\[
P(\text{{ни одна панель}}) = \frac{{\text{{количество способов выбрать 3 панели НЕ высшего сорта}}}}{{\text{{количество всевозможных комбинаций из 3 панелей}}}}
\]

Количество способов выбрать 3 панели НЕ высшего сорта равно количеству сочетаний из 30 элементов по 3:

\[
C(30, 3) = \frac{{30!}}{{3!(30-3)!}} = 4060
\]

Подставим значения в формулу:

\[
P(\text{{ни одна панель}}) = \frac{{4060}}{{9880}} \approx 0.4111
\]

Теперь можем найти вероятность того, что по крайней мере одна панель будет высшего сорта, используя дополнение:

\[
P(\text{{по крайней мере одна панель}}) = 1 - P(\text{{ни одна панель}})
\]

\[
P(\text{{по крайней мере одна панель}}) = 1 - 0.4111 \approx 0.5889
\]

Таким образом, вероятность того, что из трех наугад выбранных панелей будет по крайней мере одна панель высшего сорта, составляет около 0.5889 или примерно 58.89%.

в) Чтобы найти вероятность максимум одной панели высшего сорта, нам нужно учесть два случая: когда есть ноль панелей высшего сорта и когда есть ровно одна панель высшего сорта.

Мы уже вычислили вероятность того, что ни одна панель не будет высшего сорта: \(P(\text{{ни одна панель}}) = 0.4111\).

Для вычисления вероятности того, что есть ровно одна панель высшего сорта, мы должны учесть количество способов выбрать одну панель высшего сорта и две панели НЕ высшего сорта:

\[
P(\text{{ровно одна панель}}) = \frac{{\text{{количество способов выбрать 1 панель высшего сорта}} \times \text{{количество способов выбрать 2 панели НЕ высшего сорта}}}}{{\text{{количество всевозможных комбинаций из 3 панелей}}}}
\]

Количество способов выбрать 1 панель высшего сорта равно количеству сочетаний из 10 элементов по 1:

\[
C(10, 1) = \frac{{10!}}{{1!(10-1)!}} = 10
\]

Количество способов выбрать 2 панели НЕ высшего сорта равно количеству сочетаний из 30 элементов по 2:

\[
C(30, 2) = \frac{{30!}}{{2!(30-2)!}} = 435
\]

Подставим значения в формулу:

\[
P(\text{{ровно одна панель}}) = \frac{{10 \times 435}}{{9880}} \approx 0.435
\]

Теперь мы можем найти вероятность того, что максимум одна панель будет высшего сорта, используя следующую формулу:

\[
P(\text{{максимум одна панель}}) = P(\text{{ни одна панель}}) + P(\text{{ровно одна панель}})
\]

\[
P(\text{{максимум одна панель}}) = 0.4111 + 0.435 \approx 0.8461
\]

Таким образом, вероятность того, что из трех наугад выбранных панелей будет максимум одна панель высшего сорта, составляет около 0.8461 или примерно 84.61%.