Какова вероятность того, что изъятые Сашей 5 монет из копилки все будут достоинством 1 рубль?

Mishka_8869

68

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо знать, сколько всего монет имеется в копилке. Предположим, что в копилке находится \(n\) монет.

Вероятность того, что первая достанутая монета будет монетой достоинством 1 рубль, равна количеству монет достоинством 1 рубль, поделенному на общее количество монет в копилке. Поскольку у нас известно, что первая монета является монетой достоинством 1 рубль, количество монет соответствующего достоинства уменьшается на 1.

Таким образом, вероятность достать монету достоинством 1 рубль после первой изъятой монеты составляет \(\frac{{n-1}}{{n}}\).

Аналогично, после изъятия второй монеты, вероятность выбрать монету достоинством 1 рубль составит \(\frac{{n-2}}{{n-1}}\).

Продолжая этот процесс до пятой монеты, мы получим следующее:

\[
\frac{{n-1}}{{n}} \times \frac{{n-2}}{{n-1}} \times \frac{{n-3}}{{n-2}} \times \frac{{n-4}}{{n-3}} \times \frac{{n-5}}{{n-4}}
\]

Множитель \(\frac{{n-1}}{{n}}\) отменится с \(\frac{{n-3}}{{n-2}}\), \(\frac{{n-2}}{{n-1}}\) с \(\frac{{n-4}}{{n-3}}\), и так далее.

Таким образом, вероятность того, что все пять изъятых монет будут достоинством 1 рубль, равна

\[
\frac{{n-1}}{{n}} \times \frac{{n-2}}{{n-1}} \times \frac{{n-3}}{{n-2}} \times \frac{{n-4}}{{n-3}} \times \frac{{n-5}}{{n-4}} = \frac{{n-5}}{{n}}
\]

Например, если в копилке было 10 монет, то вероятность вытащить 5 монет достоинством 1 рубль составит

\[
\frac{{10-5}}{{10}} = \frac{{5}}{{10}} = \frac{{1}}{{2}} = 0.5
\]

Таким образом, вероятность того, что изъятые Сашей 5 монет из копилки все будут достоинством 1 рубль, составляет \( \frac{{n-5}}{{n}} \).