Каково математическое ожидание случайной величины, которая равна нулю вне отрезка [0, 2] и определяется как f (x

Ledyanaya_Dusha_1191

45

Для решения этой задачи необходимо вычислить математическое ожидание случайной величины \(X\), заданной функцией \(f(x)\).

Математическое ожидание случайной величины \(X\) вычисляется по формуле:

\[
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \cdot dx
\]

В данной задаче, функция \(f(x)\) определена следующим образом:

\[
f(x) = \begin{cases}
0, & x < 0 \text{ или } x > 2 \\
\frac{x}{2}, & 0 \leq x \leq 2
\end{cases}
\]

Для вычисления интеграла, разобьем его на две части, в зависимости от области определения функции \(f(x)\). Получим:

\[
E(X) = \int_{-\infty}^{0} x \cdot 0 \cdot dx + \int_{0}^{2} x \cdot \frac{x}{2} \cdot dx + \int_{2}^{\infty} x \cdot 0 \cdot dx
\]

Крайние интегралы равны нулю, так как функция \(f(x)\) равна нулю вне отрезка \([0, 2]\). Выполним вычисления интеграла на интервале \([0,2]\). Получим:

\[
\int_{0}^{2} x \cdot \frac{x}{2} \cdot dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^2 \cdot dx
\]

Вычислим данный интеграл:

\[
\frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^2 \cdot dx = \frac{1}{6} \left[ x^3 \right]_{0}^{2} = \frac{1}{6}(2^3 - 0^3) = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}
\]

Таким образом, математическое ожидание случайной величины \(X\) равно \(\frac{4}{3}\) (округлено до сотых).