Какова вероятность того, что клиент был обслужен вторым агентом, если известно, что на территории района работают

Лиска

22

Для решения данной задачи, нам необходимо применить формулу условной вероятности. Рассмотрим обозначения:

\(A_1\) - событие "клиент был обслужен первым агентом",
\(A_2\) - событие "клиент был обслужен вторым агентом",
\(A_3\) - событие "клиент был обслужен третьим агентом",
\(B\) - событие "клиент был обслужен вовремя и вежливо".

Нам известны следующие вероятности:
\(P(A_1) = 0.2\) (вероятность выбора первого агента),
\(P(A_2) = 0.5\) (вероятность выбора второго агента),
\(P(A_3) = 0.3\) (вероятность выбора третьего агента),
\(P(B|A_1) = 0.1\) (вероятность вежливости и своевременного обслуживания клиента первым агентом),
\(P(B|A_2) = 0.5\) (вероятность вежливости и своевременного обслуживания клиента вторым агентом),
\(P(B|A_3) = 0.7\) (вероятность вежливости и своевременного обслуживания клиента третьим агентом).

Требуется найти вероятность того, что клиент был обслужен вторым агентом при условии, что он был обслужен вовремя и вежливо, то есть \(P(A_2|B)\).

Мы можем воспользоваться формулой условной вероятности:

\[P(A_2|B) = \frac{{P(A_2) \cdot P(B|A_2)}}{{P(B)}}\]

Теперь рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

Вероятность события B, т.е. клиент был обслужен вовремя и вежливо, можно вычислить как сумму произведений вероятностей каждого агента на вероятность вежливого и своевременного обслуживания клиента данным агентом:

\[P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) + P(A_3) \cdot P(B|A_3)\]

Подставим известные значения:

\[P(B) = 0.2 \cdot 0.1 + 0.5 \cdot 0.5 + 0.3 \cdot 0.7\]

\[P(B) = 0.02 + 0.25 + 0.21 = 0.48\]

Теперь можем вычислить искомую вероятность:

\[P(A_2|B) = \frac{{P(A_2) \cdot P(B|A_2)}}{{P(B)}} = \frac{{0.5 \cdot 0.5}}{{0.48}}\]

\[P(A_2|B) \approx 0.5208\]

Таким образом, вероятность того, что клиент был обслужен вторым агентом при условии, что он был обслужен вовремя и вежливо, составляет приблизительно 0.5208 или около 52.08%.