Какова вероятность того, что первый игрок из четырех получит n пар «туз и король одной масти», когда колода включает

Arseniy

14

Чтобы решить данную задачу, необходимо рассмотреть все возможные варианты распределения карт в колоде и выяснить, сколько из этих вариантов удовлетворяют условию задачи.

Всего в колоде 52 карты, из которых 4 - короля и 4 - туза одной масти. Первый игрок будет получать n пар «туз и король одной масти», где n может быть равно 0, 1, 2, 3 или 4.

Давайте рассмотрим каждый из этих случаев по порядку:

1. Когда n = 0:
В этом случае первый игрок не получает ни одной пары «туз и король одной масти». Количество способов выбрать 4 карты из 52 равно \(\binom{52}{4}\). Вероятность того, что первый игрок не получит ни одной пары, будет равна:

\[P(n=0) = \frac{\binom{52}{4}}{\binom{52}{4}} = 1\]

2. Когда n = 1:
В этом случае первый игрок получает одну пару «туз и король одной масти». Количество способов выбрать пару туза и короля одной масти равно \(4 \times 4 = 16\). Для оставшихся 2 карты игровой колоды остается \(\binom{48}{2}\) способов выбора. Таким образом, вероятность того, что первый игрок получит ровно 1 пару, будет равна:

\[P(n=1) = \frac{{16 \times \binom{48}{2}}} {\binom{52}{4}}\]

3. Когда n = 2:
В этом случае первый игрок получает две пары «туз и король одной масти». Количество способов выбрать 2 пары из 4 равно \(\binom{4}{2}\). Каждая пара содержит 2 карты, поэтому общее количество карт в парах равно \(2 \times 2 = 4\). Оставшиеся 4 карты можно выбрать из оставшихся 48 карт колоды \(\binom{48}{4}\) способами. Вероятность того, что первый игрок получит ровно 2 пары, будет равна:

\[P(n=2) = \frac{{\binom{4}{2} \times \binom{48}{4}}} {\binom{52}{4}}\]

4. Когда n = 3:
В этом случае первый игрок получает три пары «туз и король одной масти». Количество способов выбрать 3 пары из 4 равно \(\binom{4}{3}\). Каждая пара содержит 2 карты, поэтому общее количество карт в парах равно \(3 \times 2 = 6\). Оставшуюся 1 карту можно выбрать из оставшихся 44 карт колоды \(\binom{44}{1}\) способом. Вероятность того, что первый игрок получит ровно 3 пары, будет равна:

\[P(n=3) = \frac{{\binom{4}{3} \times \binom{44}{1}}} {\binom{52}{4}}\]

5. Когда n = 4:
В этом случае первый игрок получает все 4 пары «туз и король одной масти». Каждая пара содержит 2 карты, поэтому общее количество карт в парах равно \(4 \times 2 = 8\). Оставшихся карт в колоде не остается. Вероятность того, что первый игрок получит все 4 пары, будет равна:

\[P(n=4) = \frac{1} {\binom{52}{4}}\]

Итак, мы рассмотрели все 5 возможных случаев и найдем соответствующие вероятности \(P(n=0)\), \(P(n=1)\), \(P(n=2)\), \(P(n=3)\) и \(P(n=4)\).

Пожалуйста, подождите немного, пока я рассчитаю эти вероятности.