Какова вероятность того, что среди 7 взятых наудачу шестерен будут изготовленные заводом № 2? а) Какова вероятность

Солнечный_День

42

Пожалуйста, вот подробное решение ваших задач:

а) Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику. Поскольку 7 шестерен берутся наудачу, общее количество возможных вариантов выбора составляет \(C(7,7) = \frac{{7!}}{{7!(7-7)!}} = 1\) (где \(C(n,k)\) обозначает число сочетаний из \(n\) по \(k\)).

Теперь давайте рассмотрим количество вариантов выбора, в которых будут изготовленные заводом №2 шестерни. Мы должны выбрать 7 шестерней из 7, поэтому количество вариантов будет равно \(C(7,7) = \frac{{7!}}{{7!(7-7)!}} = 1\).

Таким образом, вероятность того, что среди 7 взятых наудачу шестерен будут изготовленные заводом №2, составляет \(\frac{1}{1} = 1\).

б) Чтобы определить вероятность того, что среди 7 взятых шестерен будут ровно 3 изготовленные заводом №2, мы можем использовать также комбинаторику.

В данном случае нам нужно выбрать 3 шестерни из 7, которые были изготовлены заводом №2, и 4 шестерни, которые были изготовлены другими заводами. Таким образом, количество вариантов составит \(C(7,3) \cdot C(7,4)\).

Теперь давайте посчитаем общее количество вариантов выбора 7 шестерен из 7: \(C(7,7)\).

Таким образом, вероятность будет равна \(\frac{{C(7,3) \cdot C(7,4)}}{{C(7,7)}} = \frac{{\frac{{7!}}{{3!(7-3)!}} \cdot \frac{{7!}}{{4!(7-4)!}}}}{{\frac{{7!}}{{7!(7-7)!}}}}\).

Упрощая это выражение, получаем \(\frac{{\frac{{7!}}{{3!4!}} \cdot \frac{{7!}}{{4!3!}}}}{{\frac{{7!}}{{7!0!}}}} = \frac{{7!}}{{3!4!}} \cdot \frac{{4!3!}}{{7!}} = \frac{{6}}{{35}}\).

Таким образом, вероятность того, что среди 7 взятых шестерен будут ровно 3 изготовленные заводом №2, составляет \(\frac{{6}}{{35}}\).

в) Чтобы решить эту задачу, мы должны определить вероятность того, что среди 7 взятых шестерен будет не более 2 изготовленных заводом №2.

Сначала определим вероятность того, что среди 7 шестерен будет ровно 0 изготовленных заводом №2. Мы должны выбрать 7 шестерен, которые были изготовлены другими заводами, из общего количества 7 шестерен, поэтому количество вариантов составит \(C(7,7) = 1\).

Затем определим вероятность того, что среди 7 шестерен будет ровно 1 изготовленная заводом №2. Мы должны выбрать 1 шестерню завода №2 и 6 шестерен, которые были изготовлены другими заводами, из общего количества 7 шестерен. Количество вариантов выбора будет равно \(C(1,1) \cdot C(7,6) = 1 \cdot 7 = 7\).

Теперь сложим вероятности полученных случаев: \(P(\text{{не более 2 изготовленных заводом №2}}) = P(\text{{ровно 0 изготовленных заводом №2}}) + P(\text{{ровно 1 изготовленная заводом №2}}) = \frac{{1}}{{1}} + \frac{{7}}{{1}} = \frac{{8}}{{1}} = 8\).

Таким образом, вероятность того, что среди 7 взятых шестерен будет не более 2 изготовленных заводом №2, составляет 8.