Какова вероятность того, что по крайней мере 6 предприятий выполнит месячный план из восьми предприятий отрасли, если

Мистический_Жрец

51

Для решения данной задачи нам необходимо использовать биномиальное распределение. При этом вероятность успеха для каждого предприятия равна 0.9.

Формула для биномиального распределения имеет вид:

\[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:
- \( P(X=k) \) - вероятность того, что произойдет k успехов,
- \( C_n^k \) - количество сочетаний из n по k,
- \( p \) - вероятность успеха (в нашем случае, p = 0.9),
- \( n \) - количество независимых экспериментов (в нашем случае, n = 8),
- \( k \) - количество успехов.

Для решения задачи требуется определить вероятность того, что по крайней мере 6 предприятий выполнит месячный план. Это означает, что мы должны вычислить вероятность того, что произойдет 6, 7 или 8 успехов (вероятность каждого из этих случаев сложим).

Давайте последовательно посчитаем каждый из этих случаев.

Для случая с 6 успехами:

\[ P(X=6) = C_8^6 \cdot 0.9^6 \cdot (1-0.9)^{8-6} \]

Для случая с 7 успехами:

\[ P(X=7) = C_8^7 \cdot 0.9^7 \cdot (1-0.9)^{8-7} \]

Для случая с 8 успехами:

\[ P(X=8) = C_8^8 \cdot 0.9^8 \cdot (1-0.9)^{8-8} \]

Теперь мы можем сложить вероятности каждого из этих случаев, чтобы получить искомую вероятность:

\[ P(\text{по крайней мере 6 успехов}) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) \]

Давайте посчитаем:

\[ P(X=6) = C_8^6 \cdot 0.9^6 \cdot (1-0.9)^{8-6} \]
\[ P(X=7) = C_8^7 \cdot 0.9^7 \cdot (1-0.9)^{8-7} \]
\[ P(X=8) = C_8^8 \cdot 0.9^8 \cdot (1-0.9)^{8-8} \]

\[ P(\text{по крайней мере 6 успехов}) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) \]

Давайте вычислим все эти значения.

\[ P(X=6) = C_8^6 \cdot 0.9^6 \cdot (1-0.9)^{8-6} \]
\[ P(X=7) = C_8^7 \cdot 0.9^7 \cdot (1-0.9)^{8-7} \]
\[ P(X=8) = C_8^8 \cdot 0.9^8 \cdot (1-0.9)^{8-8} \]

Обратите внимание, что мы используем символ "С" ("C_n^k") для обозначения количества сочетаний из n по k. Формула для вычисления сочетаний имеет вид:

\[ C_n^k = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}} \]

где "!" обозначает факториал.

Теперь давайте вычислим значения для каждого из этих вероятностей.