Какова вероятность того, что случайно выбранная точка из круга радиуса 4 см принадлежит вписанному квадрату?

Алиса

5

Для начала, давайте определим, как выглядит круг и вписанный квадрат. Круг имеет радиус 4 см, что означает, что расстояние от центра круга до любой точки на его окружности равно 4 см. Вписанный квадрат означает, что углы квадрата соприкасаются с окружностью круга и среди себя.

Теперь, ответим на вопрос: какова вероятность того, что случайно выбранная точка из круга радиуса 4 см принадлежит вписанному квадрату?

Для этого, давайте представим, что круг разделен на маленькие сегменты, которые можно считать точками. Чем больше таких сегментов, тем точнее будет наш ответ. Представим, что мы разделили круг на 100 маленьких сегментов.

Теперь сосредоточимся только на одной четверти круга и построим вписанный квадрат. Вписанный квадрат будет иметь сторону, равную диагонали квадрата, которая равна диаметру окружности. Таким образом, сторона квадрата будет равна 8 см.

Теперь посмотрим на наш квадрат и определим, сколько точек точно находится в нем. Если мы внимательно посмотрим на квадрат, то заметим, что углы квадрата соприкасаются с окружностью в 4 точках. Также среди четырех сторон квадрата точка соприкасается с каждой стороной в конце каждой из них, итого еще 4 точки. Итак, внутри квадрата существует 8 точек, принадлежащих окружности.

Теперь мы должны определить, сколько всего точек находится в четверти круга. Вспомним, что мы разделили четверть круга на 100 маленьких сегментов. Таким образом, каждый из этих сегментов будет представлять одну точку. Поскольку у нас четверть круга, то всего будет 25 сегментов.

Таким образом, внутри четверти круга находится 25 точек. Поскольку мы проводили вычисления только для одной четверти круга, то весь круг будет содержать 4 раза больше точек, что составит 4 * 25 = 100 точек.

Теперь, чтобы найти вероятность выбрать точку, находящуюся внутри квадрата, мы должны разделить количество точек внутри квадрата (8) на общее количество точек во всем круге (100):

\[
\text{{Вероятность}} = \frac{{\text{{Количество точек внутри квадрата}}}}{{\text{{Общее количество точек}}}} = \frac{8}{100}
\]

Упростив эту дробь, мы получим:

\[
\text{{Вероятность}} = 0.08
\]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка из круга радиуса 4 см принадлежит вписанному квадрату, составляет примерно 0.08 или 8%.