Какова вероятность того, что стрелок поразит мишень, сделав не больше трех выстрелов, если вероятность поражения мишени

Magnitnyy_Pirat

8

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо воспользоваться методом комбинаторики и применить формулу биномиального распределения.

Пусть событие A означает, что стрелок поразит мишень, а событие B означает, что стрелок не поразит мишень. Вероятность поражения мишени при каждом выстреле равна 0,3, а вероятность не поражения мишени - 0,7.

Нам нужно найти вероятность того, что стрелок поразит мишень не более трех раз, то есть P(0) + P(1) + P(2) + P(3), где P(x) обозначает вероятность того, что стрелок поразит мишень ровно x раз.

Вероятность события P(x) можно определить с помощью биномиального распределения. Формула для этого выглядит следующим образом:

\[ P(x) = C_n^x \cdot p^x \cdot (1-p)^{n-x} \]

Где C_n^x - число сочетаний из n элементов по x, p - вероятность события A (поражение мишени), (1-p) - вероятность события B (не поражение мишени), x - количество раз поражения мишени, n - общее количество выстрелов.

Для нашей задачи, n = 3, p = 0,3, (1-p) = 0,7.

Теперь посчитаем вероятность для каждого значения x:

P(0) = C_3^0 \cdot 0,3^0 \cdot 0,7^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0,343 = 0,343

P(1) = C_3^1 \cdot 0,3^1 \cdot 0,7^2 = 3 \cdot 0,3 \cdot 0,49 = 0,441

P(2) = C_3^2 \cdot 0,3^2 \cdot 0,7^1 = 3 \cdot 0,09 \cdot 0,7 = 0,189

P(3) = C_3^3 \cdot 0,3^3 \cdot 0,7^0 = 1 \cdot 0,027 \cdot 1 = 0,027

Теперь сложим все вероятности:

P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,343 + 0,441 + 0,189 + 0,027 = 0,999

Таким образом, вероятность того, что стрелок поразит мишень, сделав не более трех выстрелов, составляет примерно 0,999 или около 99,9%.

Важно отметить, что результаты предыдущих выстрелов не оказывают влияния на последующие выстрелы, поэтому мы можем рассматривать каждый выстрел независимо от предыдущих.