Какова вероятность того, что студент успешно сдаст а) ровно 2 экзамена; в) не менее двух экзаменов?

Ящерка

39

Для решения данной задачи мы будем использовать так называемое "правило сложения" и "правило умножения" в теории вероятностей.

а) Вероятность того, что студент успешно сдаст ровно 2 экзамена, зависит от вероятности успешной сдачи каждого отдельного экзамена. Пусть событие A обозначает успешную сдачу первого экзамена, а событие B обозначает успешную сдачу второго экзамена. Для решения задачи нам необходимо найти вероятность события A и B.

Допустим, что вероятность успешной сдачи первого экзамена равна \(p_1\) и вероятность успешной сдачи второго экзамена равна \(p_2\). Вероятность неуспешной сдачи каждого экзамена равна соответственно \(1 - p_1\) и \(1 - p_2\).

Используя правило умножения, мы можем записать вероятность события A и B как произведение вероятностей событий:
\[P(A \cap B) = p_1 \cdot p_2\]

Теперь у нас возникает вопрос: из скольких экзаменов выбирается 2? Предположим, что у студента n экзаменов. В этом случае мы можем выбрать 2 экзамена из n экзаменов сочетанием. Формула для подсчета количества сочетаний из n элементов по k элементов:
\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\]

В данной задаче нам нужно выбрать 2 экзамена из n, поэтому мы получаем:
\[C(n, 2) = \frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = \frac{{n \cdot (n - 1)}}{2}\]

Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы найти вероятность сдать ровно 2 экзамена. Вероятность события A и B происходит внутри случайного события выбора 2 экзаменов из n, поэтому мы можем умножить вероятность события A и B на вероятность события выбора 2 экзаменов из n:
\[P(\text{ровно 2 экзамена}) = C(n, 2) \cdot p_1 \cdot p_2\]

Таким образом, мы получаем вероятность успешной сдачи ровно 2 экзаменов.

в) Чтобы найти вероятность успешной сдачи не менее двух экзаменов, нам нужно учесть все возможные случаи, где студент может сдать 2, 3, 4, ..., n экзаменов. Для этого мы можем использовать "правило сложения".

Вероятность успешной сдачи 2 экзаменов мы уже рассчитали в предыдущей части задачи и обозначили ее как \(P(\text{ровно 2 экзамена})\). Теперь, чтобы учесть вероятность успешной сдачи 3 экзаменов, мы можем использовать ту же формулу и умножить на вероятность успешной сдачи третьего экзамена \(p_3\).

Обобщая это на случай сдать не менее двух экзаменов, мы можем записать:
\[P(\text{не менее 2 экзаменов}) = P(\text{ровно 2 экзамена}) + P(\text{ровно 3 экзамена}) + \ldots + P(\text{ровно n экзаменов})\]

То есть, мы суммируем вероятности успешной сдачи 2, 3, 4, ..., n экзаменов.

В итоге, решая данную задачу, мы использовали правило сложения и умножения в теории вероятностей, а также формулу для подсчета числа сочетаний, чтобы получить подробный и обстоятельный ответ.