Какова вероятность того, что Таня не простояла в очереди более 4 минут к 14:10?

Sladkaya_Siren_4760

3

Для решения этой задачи нам понадобится информация о времени, которое Таня простояла в очереди, и информация о том, когда она присоединилась к очереди. Предположим, что очередь начала формироваться в 14:00. Также давайте установим, что время простоя в очереди имеет равномерное распределение от 0 до 10 минут.

Очередь может обслуживаться в течение 10 минут, поэтому вероятность для Тани непростоять в очереди более 4 минут определится исходя из возможных интервалов прихода в очередь.

У нас есть две возможные ситуации:
1. Если Таня присоединилась к очереди до 14:06 (10 минут до 14:16), то есть возможность простоять не более 4 минут.
2. Если Таня присоединилась к очереди после 14:06 (менее 10 минут до 14:16), то вероятность простоять не более 4 минут будет зависеть от точного времени ее прихода.

Рассмотрим первую ситуацию. Вероятность для Тани присоединиться к очереди до 14:06 равна отношению длительности возможного интервала прихода Тани к длительности всего возможного времени для прихода в очередь:
\[
\frac{{6}}{{10}} = \frac{{3}}{{5}}
\]

Таким образом, вероятность для первой ситуации составляет \( \frac{{3}}{{5}} \).

Рассмотрим вторую ситуацию. Если Таня присоединилась к очереди после 14:06, то вероятность для нее простоять не более 4 минут будет зависеть от точного времени ее прихода. Если она присоединилась в момент времени \( t \), то вероятность простоять не более 4 минут будет равна отношению длительности времени от момента прихода до 14:16 к длительности возможного интервала для прихода в очередь:
\[
\frac{{16 - (t + 6)}}{{10}} = \frac{{10 - t}}{{10}}
\]

Это верно, потому что время простоя не может превышать 4 минуты (время от 14:06 до 14:16), и длительность этого интервала составляет 10 минут.

Таким образом, для второй ситуации вероятность будет зависеть от времени прихода Тани и будет равна \(\frac{{10 - t}}{{10}}\).

Теперь мы можем рассчитать общую вероятность, сложив вероятности для двух ситуаций:

\[
\frac{{3}}{{5}} + \int_{{0}}^{{4}} \frac{{10 - t}}{{10}} dt
\]

Найдем значение этого интеграла:

\[
\int_{{0}}^{{4}} \frac{{10 - t}}{{10}} dt = \left[\frac{{10t - \frac{{1}}{{2}}t^2}}{{10}}\right]_{{0}}^{{4}} = \frac{{40 - 8}}{{10}} - \frac{{0 - 0}}{{10}} = \frac{{32}}{{10}} = \frac{{16}}{{5}}
\]

Таким образом, общая вероятность того, что Таня не простоит в очереди более 4 минут к 14:10, составляет:

\[
\frac{{3}}{{5}} + \frac{{16}}{{5}} = \frac{{19}}{{5}} = 3.8
\]

Итак, вероятность того, что Таня не простоит в очереди более 4 минут к 14:10, равна 3.8 или \( \frac{{19}}{{5}} \).