Какова вероятность того, что Таня не простояла в очереди более 4 минут к 14:10?

Sladkaya_Siren_4760

3

Для решения этой задачи нам понадобится информация о времени, которое Таня простояла в очереди, и информация о том, когда она присоединилась к очереди. Предположим, что очередь начала формироваться в 14:00. Также давайте установим, что время простоя в очереди имеет равномерное распределение от 0 до 10 минут.

Очередь может обслуживаться в течение 10 минут, поэтому вероятность для Тани непростоять в очереди более 4 минут определится исходя из возможных интервалов прихода в очередь.

У нас есть две возможные ситуации:
1. Если Таня присоединилась к очереди до 14:06 (10 минут до 14:16), то есть возможность простоять не более 4 минут.
2. Если Таня присоединилась к очереди после 14:06 (менее 10 минут до 14:16), то вероятность простоять не более 4 минут будет зависеть от точного времени ее прихода.

Рассмотрим первую ситуацию. Вероятность для Тани присоединиться к очереди до 14:06 равна отношению длительности возможного интервала прихода Тани к длительности всего возможного времени для прихода в очередь:
$$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$

Таким образом, вероятность для первой ситуации составляет $\frac{3}{5}$.

Рассмотрим вторую ситуацию. Если Таня присоединилась к очереди после 14:06, то вероятность для нее простоять не более 4 минут будет зависеть от точного времени ее прихода. Если она присоединилась в момент времени $t$, то вероятность простоять не более 4 минут будет равна отношению длительности времени от момента прихода до 14:16 к длительности возможного интервала для прихода в очередь:
$$\frac{16-(t+6)}{10}=\frac{10-t}{10}$$

Это верно, потому что время простоя не может превышать 4 минуты (время от 14:06 до 14:16), и длительность этого интервала составляет 10 минут.

Таким образом, для второй ситуации вероятность будет зависеть от времени прихода Тани и будет равна $\frac{10-t}{10}$.

Теперь мы можем рассчитать общую вероятность, сложив вероятности для двух ситуаций:

$$\frac{3}{5}+{\int }_0^4\frac{10-t}{10}dt$$

Найдем значение этого интеграла:

$${\int }_0^4\frac{10-t}{10}dt={\left[\frac{10t-\frac{1}{2}{t}^2}{10}\right]}_0^4=\frac{40-8}{10}-\frac{0-0}{10}=\frac{32}{10}=\frac{16}{5}$$

Таким образом, общая вероятность того, что Таня не простоит в очереди более 4 минут к 14:10, составляет:

$$\frac{3}{5}+\frac{16}{5}=\frac{19}{5}=3.8$$

Итак, вероятность того, что Таня не простоит в очереди более 4 минут к 14:10, равна 3.8 или $\frac{19}{5}$.