Какова вероятность того, что только один из пяти снайперов попадет в цель на городских соревнованиях по стрельбе?

Kamen

33

Чтобы решить данную задачу, мы должны знать вероятность того, что один снайпер попадет в цель, а остальные четыре промажут. Предположим, что вероятность попадания для каждого снайпера одинакова и составляет \(p\) (где \(0 \leq p \leq 1\)).

Теперь мы можем использовать теорию вероятности для определения общей вероятности такого события. Для этого нам понадобятся комбинаторные методы.

Событие, когда только один из пяти снайперов попадает в цель, может произойти в следующих комбинациях:
1. Снайпер 1 попал, а все остальные промазали;
2. Снайпер 2 попал, а все остальные промазали;
3. Снайпер 3 попал, а все остальные промазали;
4. Снайпер 4 попал, а все остальные промазали;
5. Снайпер 5 попал, а все остальные промазали.

Теперь мы можем использовать формулу для вычисления вероятности объединения независимых событий. Для данной задачи формула имеет вид:

\[P(A \cup B \cup C \cup D \cup E) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) + P(E)\]

Где \(P(A)\) представляет собой вероятность события А, \(P(B)\) - вероятность события В, и так далее.

Теперь рассмотрим каждую из комбинаций, чтобы вычислить их вероятности:

1. Вероятность того, что первый снайпер попадет, а остальные промажут:
\[P(A) = p \cdot (1-p) \cdot (1-p) \cdot (1-p) \cdot (1-p) = p \cdot (1-p)^4\]

2. Вероятность того, что второй снайпер попадет, а остальные промажут:
\[P(B) = (1-p) \cdot p \cdot (1-p) \cdot (1-p) \cdot (1-p) = p \cdot (1-p)^4\]

3. Вероятность того, что третий снайпер попадет, а остальные промажут:
\[P(C) = (1-p) \cdot (1-p) \cdot p \cdot (1-p) \cdot (1-p) = p \cdot (1-p)^4\]

4. Вероятность того, что четвертый снайпер попадет, а остальные промажут:
\[P(D) = (1-p) \cdot (1-p) \cdot (1-p) \cdot p \cdot (1-p) = p \cdot (1-p)^4\]

5. Вероятность того, что пятый снайпер попадет, а остальные промажут:
\[P(E) = (1-p) \cdot (1-p) \cdot (1-p) \cdot (1-p) \cdot p = p \cdot (1-p)^4\]

Теперь мы можем вычислить общую вероятность:

\[P(\text{{только один из пяти попадет}}) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) + P(E) = 5p \cdot (1-p)^4\]

Таким образом, вероятность того, что только один из пяти снайперов попадет в цель, составляет \(5p \cdot (1-p)^4\), где \(p\) - вероятность попадания одного снайпера, а \((1-p)^4\) - вероятность промаха каждого из оставшихся снайперов.