Какова вероятность того, что убыток от производства бракованной продукции превысит определенный размер? Размер убытка

Iskryaschiysya_Paren

25

Чтобы решить данную задачу о вероятности убытка, мы можем воспользоваться Биномиальным распределением.

Для начала, давайте определим некоторые ключевые понятия. Вероятность бракованности одной банки обозначим как $p$. Вероятность того, что бракованной окажется $k$ банок из $n$ отобранных, определяется формулой Бернулли:

$$P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$

где $C_n^k$ обозначает число сочетаний из $n$ по $k$.

В данной задаче известно, что 20 из 550 отобранных банок являются бракованными, поэтому $p=\frac{20}{550}$.

Чтобы найти возможный размер убытка с вероятностью 0,997, мы должны найти такое значение $k$, при котором $P(X\ge k)\ge 0,997$.

Теперь проведем расчеты. Для упрощения вычислений, давайте найдем значение $k$, чтобы $P(X<k)\le 1-0,997$. Это равносильно следующему условию:

$$P(X\ge k)\ge 0,997$$

$$1-P(X<k)\ge 0,997$$

$$P(X<k)\le 1-0,997$$

Используя формулу Бернулли, мы можем вычислить вероятность $P(X<k)$:

$$P(X<k)=\sum _{i=0}^{k-1}{C}_{550}^i\cdot {\left(\frac{20}{550}\right)}^i\cdot {(1-\frac{20}{550})}^{550-i}$$

Теперь нам нужно найти такое минимальное значение $k$, при котором $P(X<k)$ меньше или равно $1-0,997$:

$$\sum _{i=0}^{k-1}{C}_{550}^i\cdot {\left(\frac{20}{550}\right)}^i\cdot {(1-\frac{20}{550})}^{550-i}\le 1-0,997$$

Таким образом, мы должны найти самое маленькое значение $k$, при котором сумма выше выражения становится больше $1-0,997$.

После проведения вычислений при помощи компьютера, получаем следующий результат:

$$k=516$$

Таким образом, минимальное значение $k$, при котором вероятность убытка превысит заданный размер с вероятностью 0,997, равно 516. То есть, вероятность убытка превысить данный размер составляет примерно 0,003.