Какова вероятность того, что учащийся Б решит верно 10 или 11 задач на ЕГЭ по математике?

Карамелька_9681

40

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые предварительные данные. Предположим, что вероятность правильно решить одну задачу на ЕГЭ по математике для ученика Б составляет 0,7. Для удобства обозначим эту вероятность как \(p\).

Мы также должны знать общее количество задач на ЕГЭ по математике. Допустим, что общее количество задач равно 20. Это означает, что ученику Б предстоит выбрать 20 задач и попытаться решить их.

Теперь оценим вероятность того, что ученик Б решит верно 10 задач. Количество комбинаций, когда он решит 10 задач, можно вычислить с помощью биномиального распределения.

Формула для вычисления вероятности конкретного числа успешных попыток из общего количества попыток описывается следующим образом:

\[P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]

Где \(P(X=k)\) - вероятность получения \(k\) успешных результатов из \(n\) попыток, \(\binom{n}{k}\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\), \(p^k\) - вероятность успеха в степени \(k\) и \((1-p)^{n-k}\) - вероятность неудачи в степени \(n-k\).

Таким образом, для нашей задачи, вероятность успешно решить ровно 10 задач будет:

\[P(X=10) = \binom{20}{10} (0,7)^{10} (0,3)^{10}\]

Аналогично, можно вычислить вероятность успешно решить 11 задач:

\[P(X=11) = \binom{20}{11} (0,7)^{11} (0,3)^{9}\]

Теперь, чтобы получить общую вероятность того, что ученик Б решит верно 10 или 11 задач, нам нужно сложить эти две вероятности:

\[P(X=10) + P(X=11)\]

Вычислим эти значения:

\(\binom{20}{10} = \frac{20!}{10! \cdot (20 - 10)!} = 184,756\)

\(\binom{20}{11} = \frac{20!}{11! \cdot (20 - 11)!} = 167,960\)

Учитывая, что \(p = 0,7\) и \(1-p = 0,3\), подставим эти значения:

\[P(X=10) = 184,756 \cdot (0,7)^{10} \cdot (0,3)^{10} \approx 0,266\]

\[P(X=11) = 167,960 \cdot (0,7)^{11} \cdot (0,3)^{9} \approx 0,193\]

Теперь сложим эти две вероятности:

\[P(X=10) + P(X=11) \approx 0,266 + 0,193 = 0,459\]

Итак, вероятность того, что ученик Б решит верно 10 или 11 задач на ЕГЭ по математике составляет около 0,459 (или примерно 45,9%).