Какова вероятность того, что Ваня и Таня будут стоять рядом, когда 15 воспитанников встают в хоровод на утреннике

Lunnyy_Renegat_7151

2

Для решения данной задачи нам необходимо определить число возможных исходов и число благоприятных исходов.

Итак, пусть у нас есть 15 воспитанников (включая Ваню и Таню), которые должны встать в хоровод. В данной задаче, чтобы Ваня и Таня стояли рядом, они должны занимать соседние места.

Давайте представим Ваню и Таню как одну сущность, то есть фактически будем рассматривать их как одного человека. Тогда всего у нас будет 14 "школьников".

Представим, что у нас есть 15 пустых слотов (мест), где мы должны разместить 14 "школьников". Воспользуемся формулой для нахождения числа сочетаний из n по k:

\[C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

В данном случае у нас n=15 и k=14. Подставим значения в формулу:

\[C_{15}^{14} = \frac{15!}{14!(15-14)!} = \frac{15!}{14! \cdot 1!} = 15\]

Таким образом, у нас есть 15 возможных способов разместить Ваню и Таню рядом в хороводе.

Теперь нам нужно определить число всех возможных исходов. Так как у нас есть 15 воспитанников, которых мы должны разместить в хороводе, воспользуемся формулой для нахождения числа перестановок из n элементов:

\[P_{n} = n!\]

Подставим значение n=15 и вычислим:

\[P_{15} = 15! = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

Calculating this value using the formula or a calculator, we find that \(P_{15} = 1,307,674,368,000\).

Теперь мы знаем, что всего существует \(P_{15} = 1,307,674,368,000\) способов расставить 15 воспитанников в хороводе и только 15 способов сделать так, чтобы Ваня и Таня стояли рядом.

Наконец, чтобы найти вероятность этого события, мы делим количество благоприятных исходов на количество всех возможных исходов:

\[\text{Вероятность} = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{количество всех возможных исходов}} = \frac{15}{1,307,674,368,000}\]

Calculating this value, we find that the probability is approximately \(1.147 \times 10^{-11}\), or \(0.00000000001147\) (округленно до десяти миллиардных). Таким образом, вероятность того, что Ваня и Таня будут стоять рядом, составляет примерно \(0.00000000001147\).