Какова вероятность того, что все три крысы успешно выполнят свои задания за 1 минуту? Какова вероятность того

Якобин

63

Хорошо, давайте разберемся с этими задачами.

Задача: Какова вероятность того, что все три крысы успешно выполнят свои задания за 1 минуту?

Предположим, что вероятность успешного выполнения задания для каждой крысы равна \(p\). Так как у нас три крысы, независимо друг от друга, они будут успешно выполнять задания. Так как события независимы, вероятность того, что все три крысы успешно выполнят свои задания, будет равна произведению вероятностей выполнения каждой крысы. Используя это, мы можем записать следующее:

\[\text{{Вероятность}} = p \times p \times p = p^3\]

Таким образом, вероятность успешного выполнения задания всеми тремя крысами за 1 минуту равна \(p^3\).

Задача: Какова вероятность того, что только две крысы смогут выполнить свои задания?

Здесь у нас есть несколько вариантов, когда только две крысы успешно выполняют задания. Мы можем выбрать одну из трех крыс, которая не сможет выполнить задание, и две из оставшихся крыс, которые смогут его выполнить.

Пусть вероятность успешного выполнения задания для каждой крысы все так же равна \(p\). Тогда, чтобы найти вероятность того, что только две крысы смогут выполнить свои задания, мы можем использовать сочетания. Формула для нахождения числа сочетаний из \(n\) элементов по \(k\) элементов выглядит следующим образом:

\[C(n,k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Используя эту формулу, мы можем записать следующее:

\[\text{{Вероятность}} = C(3,2) \times p^2 \times (1-p) = 3 \times p^2 \times (1-p)\]

Таким образом, вероятность того, что только две крысы смогут выполнить свои задания, равна \(3 \times p^2 \times (1-p)\).

Задача: Какова вероятность того, что хотя бы две крысы выполнат свои задания?

Здесь у нас также есть несколько вариантов. Вероятность выполнять задание для каждой крысы все так же равна \(p\). Мы можем рассмотреть два случая: когда две крысы выполняют задания, и когда все три крысы выполняют задания.

Чтобы найти вероятность хотя бы двух крыс выполнить задания, мы можем сложить вероятность двух крыс выполнить задания и вероятность всех трех крыс выполнить задания:

\[\text{{Вероятность}} = \text{{Вероятность двух крыс}} + \text{{Вероятность всех трех крыс}}\]

\[\text{{Вероятность}} = 3 \times p^2 \times (1-p) + p^3\]

Таким образом, вероятность того, что хотя бы две крысы выполнат свои задания, равна \(3 \times p^2 \times (1-p) + p^3\).

Это подробное объяснение вероятностей для данной задачи с крысами. Если у вас есть еще какие-либо вопросы, пожалуйста, задайте их!