Какова вероятность выбора трех гвоздик, все из которых будут красными, если в вазе находятся 6 розовых и 8 красных

Timur

28

Для решения задачи о вероятности выбора трех красных гвоздик нужно знать общее количество гвоздик в вазе и количество красных гвоздик.

Из условия задачи мы знаем, что в вазе находится 6 розовых и 8 красных гвоздик. Следовательно, общее количество гвоздик в вазе равно 6 + 8 = 14.

Теперь необходимо определить количество способов выбрать 3 гвоздики из 14. Для этого мы будем использовать комбинаторику. Количество способов выбрать 3 гвоздика из 14 можно выразить с помощью символа C(n, r), где n - общее количество гвоздик, а r - количество гвоздик, которые мы хотим выбрать.

Формула для комбинации C(n, r) выглядит следующим образом:

\[C(n, r) = \frac{{n!}}{{r!(n-r)!}}\]

Здесь n! обозначает факториал числа n, что означает произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

В нашем случае, мы хотим выбрать 3 гвоздика из 14, поэтому n = 14 и r = 3. Подставим эти значения в формулу:

\[C(14, 3) = \frac{{14!}}{{3!(14-3)!}}\]

Вычислим факториалы:

14! = 14 * 13 * 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 87,178,291,200

3! = 3 * 2 * 1 = 6

(14-3)! = 11!

11! = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 39,916,800

Подставим значения в формулу:

\[C(14, 3) = \frac{{87,178,291,200}}{{6 \cdot 39,916,800}} = 2,184,810\]

Таким образом, существует 2,184,810 способов выбрать 3 гвоздика из 14.

Теперь, для определения вероятности выбора трех красных гвоздик, необходимо определить количество способов выбрать 3 красных гвоздика из 8, а затем разделить это значение на общее количество способов выбрать 3 гвоздика из 14.

Используя такую же формулу комбинации C(n, r) и подставляя значения, получим:

\[C(8, 3) = \frac{{8!}}{{3!(8-3)!}}\]

Вычисляем факториалы:

8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40,320

3! = 3 * 2 * 1 = 6

(8-3)! = 5!

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

Подставим значения в формулу:

\[C(8, 3) = \frac{{40,320}}{{6 \cdot 120}} = 56\]

Таким образом, существует 56 способов выбрать 3 красных гвоздика из 8.

Наконец, чтобы найти вероятность выбора трех красных гвоздик, необходимо разделить количество способов выбрать 3 красных гвоздика из 8 на общее количество способов выбрать 3 гвоздика из 14:

Вероятность = \(\frac{{\text{{Количество способов выбрать 3 красных гвоздика из 8}}}}{{\text{{Количество способов выбрать 3 гвоздика из 14}}}}\)

Вероятность = \(\frac{{56}}{{2,184,810}}\)

То есть, вероятность выбрать трех красных гвоздик из вазы равна примерно 0.0256 или около 2.56%.

Надеюсь, решение было понятным и обстоятельным. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!