Как решить дифференциальное уравнение dy=(x^2 - 1)dx с начальным условием y = 4 при x

Putnik_Po_Vremeni

69

Для решения данного дифференциального уравнения первым делом нужно проанализировать его тип. Заметим, что уравнение имеет вид уравнения с разделяющимися переменными, так как у нас есть производная от \(y\) и производная от \(x\) в разных частях уравнения, и они отделены между собой умножением.

Таким образом, для решения данного дифференциального уравнения необходимо провести процедуру разделения переменных, а затем проинтегрировать обе части уравнения.

Процедура разделения переменных состоит в перемещении всех членов, содержащих переменные, на одну сторону уравнения, а константы на другую сторону. Применяя данную процедуру к нашему уравнению, получаем:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = (x^2 - 1)\]

Разделим обе части уравнения, чтобы выразить производные:

\[\frac{{dy}}{{x^2 - 1}} = dx\]

Теперь проинтегрируем обе части уравнения. Первообразная слевой части уравнения будет зависеть от переменной \(y\), а правой части - от \(x\).

Проводя интегрирование, получаем:

\[\int\frac{{dy}}{{x^2 - 1}} = \int dx \]

Для интегрирования левой части уравнения воспользуемся методом частных дробей или заменой переменной, что приведет к следующему результату:

\[\frac{1}{2}\ln|x^2-1| = x + C_1\]

Где \(C_1\) - постоянная интегрирования.

Далее, для решения этого уравнения получаем:

\[\ln|x^2-1| = 2x + 2C_1\]

Применяя свойства логарифмов, можно переписать это уравнение как:

\[|x^2-1| = e^{2x + 2C_1}\]

Теперь рассмотрим начальное условие \(y = 4\) при \(x = x_0\). Подставим эти значения в общее решение и решим получившееся равенство:

\[4 = |x_0^2-1| \cdot e^{2x_0 + 2C_1}\]

Рассмотрим два случая: когда \(x_0^2 - 1 > 0\) и когда \(x_0^2 - 1 < 0\).

Для случая \(x_0^2 - 1 > 0\), получаем:

\[4 = (x_0^2-1) \cdot e^{2x_0 + 2C_1}\]

Для случая \(x_0^2 - 1 < 0\), получаем:

\[4 = -(x_0^2-1) \cdot e^{2x_0 + 2C_1}\]

Оба случая можно объединить, заметив, что \(|x_0^2-1|\) может быть записано как \(\sqrt{(x_0^2-1)^2}\). Тогда уравнение может быть переписано в виде:

\[4 = \sqrt{(x_0^2-1)^2} \cdot e^{2x_0 + 2C_1}\]

Далее, возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от модуля. При этом нужно следить, чтобы не появились лишние решения. При возводении в квадрат можно получить два случая:

\[16 = (x_0^2-1)^2 \cdot e^{4x_0 + 4C_1}\]

или

\[16 = (x_0^2-1)^2 \cdot e^{4x_0 + 4C_1} \land x_0^2 - 1 \neq 0\]

Решив данные уравнения относительно константы и подставив обратно в основное решение, получим окончательное решение задачи.