Какова вероятность выбрать одну женщину и двух мужчин из туристической группы, состоящей из 10 юношей и 6 девушек

Елена

53

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику, а именно формулу для вычисления числа сочетаний из набора элементов. В данном случае, нам нужно выбрать одну женщину из 6 и двух мужчин из 10.

Формула для числа сочетаний из набора из \(n\) элементов, выбираемых \(k\) элементов за раз без учета порядка, задается следующим образом:

\[
C(n,k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n - k)!}}
\]

Где \(n!\) - это факториал числа \(n\), равный произведению всех натуральных чисел от 1 до \(n\).

Теперь, применяя эту формулу к нашей задаче, мы можем вычислить число сочетаний для выбора одной женщины из 6 девушек и двух мужчин из 10 юношей:

\[
C(6,1) \cdot C(10,2) = \frac{{6!}}{{1! \cdot (6-1)!}} \cdot \frac{{10!}}{{2! \cdot (10-2)!}}
\]

Рассчитаем это выражение:

\[
C(6,1) = \frac{{6!}}{{1! \cdot (6-1)!}} = \frac{{6!}}{{1! \cdot 5!}} = \frac{{6 \cdot 5!}}{{1! \cdot 5!}} = \frac{{6}}{{1}} = 6
\]

\[
C(10,2) = \frac{{10!}}{{2! \cdot (10-2)!}} = \frac{{10!}}{{2! \cdot 8!}} = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8!}}{{2 \cdot 1 \cdot 8!}} = 45
\]

Теперь, когда у нас есть числа сочетаний для выбора женщины и двух мужчин, мы можем умножить их, чтобы получить общее количество возможных комбинаций выбора женщины и двух мужчин:

\[
C(6,1) \cdot C(10,2) = 6 \cdot 45 = 270
\]

Таким образом, число возможных комбинаций выбора одной женщины и двух мужчин из данной группы равно 270.

Чтобы найти вероятность выбора такой комбинации, нужно разделить это число на общее количество возможных комбинаций, которые можно сформировать из этой группы. Общее количество возможных комбинаций может быть найдено, используя формулу сочетаний для всей группы из 16 участников:

\[
C(16,3) = \frac{{16!}}{{3! \cdot (16-3)!}} = \frac{{16!}}{{3! \cdot 13!}} = \frac{{16 \cdot 15 \cdot 14}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 560
\]

Теперь мы можем вычислить вероятность выбора одной женщины и двух мужчин:

\[
\frac{{C(6,1) \cdot C(10,2)}}{{C(16,3)}} = \frac{{270}}{{560}} \approx 0.482
\]

Таким образом, вероятность выбора одной женщины и двух мужчин из данной туристической группы равна приблизительно 0.482, или 48.2%.